Basi duali

Problema:

Siano $V$ un $\mathbb{R}-$spazio vettoriale e $B=((2,1),(1,0))$ una base di tale spazio. Si determini la base duale $B^*$.

Soluzione:

Dato che lo spazio duale $V^*$ ha la medesima dimensione dello spazio $V$, si ha che $card(B^*)=card(B)$ e dunque $B^*=(φ_1, φ_2)$.

Utilizzando la funzione delta di Kronecker, si ha, applicando le forme lineari ai vettori di $B$:

$φ_1 \rightarrow φ_1(v_1)=1, φ_1(v_2)=0$

$φ_2 \rightarrow φ_2(v_1)=0, φ_2(v_2)=1$.

Il sistema per $φ_1$ è dunque $φ_1((2,1))=1, φ_1((1,0))=0 \rightarrow φ_1(2(1,0)+1(0,1))=2φ_1(1,0)+φ_1(0,1)=1, φ_1(1,0)=0 \rightarrow  φ_1(0,1)=1, φ_1(1,0)=0 \rightarrow φ_1(1,0)=0, φ_1(0,1)=1$

Il sistema per $φ_2$ è dunque $φ_2((2,1))=0, φ_2((1,0))=1 \rightarrow φ_2(2(1,0)+(0,1))=0, φ_2(1,0)=1 \rightarrow  2φ_2(1,0)+φ_2(0,1)=0, φ_2((1,0))=1 \rightarrow 2+ φ_2(0,1)=0, φ_2(1,0)=1 \rightarrow φ_2(0,1)=-2, φ_2(1,0)=1$

Si ha dunque:

$φ_1(1,0)=0, φ_1(0,1)=1$,

$φ_2(0,1)=-2, φ_2(1,0)=1$.

Applicando $φ_1, φ_2$ ad un generico vettore $v(x,y)$ si ottiene:

$φ_1(x,y)=xφ_1(1,0)+yφ_1(0,1)=0x+1y$

$φ_2(x,y)=xφ_2(1,0)+yφ_2(0,1)=x-2y$

La base $B^*$ risulta dunque essere: $B^*((y),(x-2y))$.