[Risolto] Banale passaggio algebrico

Gesù, Giuseppe, Sant'Anna e Maria! Che colossale fesseria! Anzi, che còfana di fesserie! Questa volta ne hai sparato davvero tante che non riesco a risponderti nel tuo ordine, procederò seguendo l'ispirazione.
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A1) "Ho capito che si sommano i termini simili": FORSE NO.
Hai senz'altro capito le parole: che "i termini simili si sommano" è vero.
Ma forse non hai capito né la differenza fra "fattore" e "addendo" quando si parla di "termini", né il significato di "simili".
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A2) "dunque n + n fa 2*n": "dunque" UNA CIPPA (d'uva passerina)!
I "termini simili" che si sommano sono i due "n*2^n", non i loro fattori separatamente.
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A3) "ma ... 2^n + 2^n perché fa 2^n?": PERCHE' NO.
Non fa 2^n, fa 2^(n + 1).
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A4) Tu vorresti che a*b + a*b invece di 2*a*b facesse 4*a*b? No, vero?
L'addizione "n*2^n + n*2^n" è composta da un augendo "n*2^n" e da un addendo "n*2^n" che sono i termini dell'addizione; il termine "n*2^n" è composto da un moltiplicando "n" e da un moltiplicatore "2^n" che sono i fattori della moltiplicazione.
Il valore risultante dalla moltiplicazione si chiama prodotto e costituisce un termine.
Il valore risultante dall'addizione si chiama somma e costituisce il risultato dell'espressione.
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B) "Non esiste se non sbaglio una proprietà delle potenze con la somma": NO, NON SBAGLI.
Ma non sbagli solo perché "le potenze con la somma" è una frase insensata e, ovviamente, l'inesistente non può godere di alcuna proprietà.
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C) "Che proprietà viene utilizzata?" NESSUNA.
Se avessi chiesto "Che proprietà si applica?" avrei risposto "A chi?".
Se avessi chiesto "Che proprietà si usa?" avrei risposto "Per fare cosa?".
Le domande ellittiche sono intrinsecamente equivoche.
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C1) Nello scrivere "Ho n*2^n + n*2^n che fa 2*n*2^n." tu hai applicato la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.
* n*2^n + n*2^n = (1 + 1)*n*2^n = 2*n*2^n
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C2) La successiva proprietà da applicare è quella commutativa della moltiplicazione.
* 2*n*2^n = n*2*2^n
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C3) poi "il prodotto di due potenze della stessa base"
* n*2*2^n = n*(2^2)*2^n = n*2^(n + 1)
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C4) L'eguaglianza
* n*2^n + n*2^n = n*2^(n + 1)
non è ulteriormente semplificabile.
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D) Per chiarire la tua perplessità come si fa coi bambini delle elementari.
Se al posto di "2^n" usi una qualsiasi altra denominazione del numero "n", p.es. "caramelle" o "quinti", ottieni le addizioni
* n*2^n + n*2^n = n caramelle + n caramelle = 2*n caramelle
* n*2^n + n*2^n = n/5 + n/5 = 2*n/5
nelle quali la somma riguarda sempre i numeri, mai la denominazione.

Raccogli 2^n:

2^n(n+n)=2^n*2n

Quindi il risultato. Sono Termini simili.

n*2^2+n*2^n 

raccogli n*2^n ed hai :

n*2^2*(1+1) = 2*n*2^n