Avrei bisogno di una mano in ciò. Grazie

NOTA: secondo il Regolamento - SOS Matematica è doveroso pubblicare un solo quesito per volta.

Problema:

Utilizzando la definizione, verifica il seguente limite:

$\lim_{x \rightarrow 1} (2-3x)=-1$

Soluzione:

Per verificare il limite esistono due metodi, uno banale, ossia approssimarne il valore, ed uno meno banale, ossia utilizzando la definizione.

Il limite può esser espresso in maniera rigorosa come:

$\forall_{ε>0} \exists_{δ>0} \: | \: |1-δ|<0 \rightarrow |2-3x+1|<ε$

Per verificare se ciò è vero risulta dunque necessario individuare l'intorno di $x$ ed accettarsi che coincida con ciò indicato dal limite dato:

$|3-3x|<ε \rightarrow -ε<3-3x<ε$

$(3-3x>-ε, 3-3x<ε ) \rightarrow ( 3x-3<ε, 3x-3> -ε) \rightarrow (3x<3+ε, 3x> 3-ε) \rightarrow (x<\frac{3+ε}{3}, x>\frac{ 3-ε}{3}) \rightarrow x \in (1-\frac{ε}{3}, 1+\frac{ε}{3})$

Dato che $\frac{ε}{3}=δ$ è un valore positivo che viene aggiunto e sottratto ad 1, $U(1-\frac{ε}{3}, 1+\frac{ε}{3})$ rappresenta un intorno di $x=1$.

Articolo interessante da utilizzare come guida per gli altri esercizi: https://www.mathcamp.it/lezioni.php?less=verifica_dei_limiti_tramite_la_definizione