Nel triangolo $A B C$ si sa che
$$
B A C=30^{\circ}, A B=\frac{3}{5} A C e \cdot \overline{A B}+\overline{A C}=32 a .
$$
Preso un punto $P$ su $A B$, traccia Taltezza $B D$ e da Pla parallela a $B D$ che incontri $A C$ in $H$. Trova $P$ in modo che
$$
P D^2+2 A H^2=124 a^2, \quad[P H=4 a]
$$
19
punti
Livello 0
AC = x
AB = 3/5·x
x + 3/5·x = 32·a----> AC = x = 20·a
ΑΒ = 3/5·20·a---> ΑΒ = 12·a
Α (ABC) = 1/2·(20·a)·h =area triangolo ABC
con A(ABC) = 1/2·(20·a)·(12·a)·SIN(30°) = 60·a^2 si ottiene:
60·a^2 = 1/2·(20·a)·h---> h = 6·a = BD
Pongo: ΑΡ = y
ΑΗ = y·COS(30°) = √3·y/2
ΑD = 12·a·COS(30°) = 6·√3·a
Th Carnot:
PD^2 = y^2 + (6·√3·a)^2 - 2·y·(6·√3·a)·COS(30°)
PD^2=y^2 - 18·a·y + 108·a^2
2·ΑΗ^2 = 2·(√3·y/2)^2 = 3·y^2/2
Impongo condizione del testo:
y^2 - 18·a·y + 108·a^2 + 3·y^2/2 = 124·a^2
5·y^2 - 36·a·y + 216·a^2 - 248·a^2 = 0
5·y^2 - 36·a·y - 32·a^2 = 0
Risolvo: y = - 4·a/5 ∨ y = 8·a = AP
PH = 4·a
(APH è mezzo triangolo equilatero)
90049
punti
Genius II
@lucianop grazie
Di nulla. Buon pomeriggio.
