[Risolto] Autovettori

Dal testo capisci che la molteplicità algebrica dell'autovalore $\lambda_1=1$ vale $1$ e quella dell'autovalore $\lambda_2=2$ vale $2$. Le molteplicità geometriche sono uguali inoltre a quelle algebriche.

Quindi io partirei da una matrice diagonale fatta così:

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

adesso provi cosa succede per l'autovalore $u_1$ relativo a $\lambda_1=1$. Devi risolvere il sistema

$(A-I)u_1=0$

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{1z} \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0  \end{bmatrix}$

E ti accorgi che per ottenere l'autovettore dato devi inserire un $-1$ in posizione $A_{31}$.

poi verifichi che vada bene per l'altro autovalore e gli altri due autovettori.

Ricerco una matrice quadrata triangolare A del tipo segnato sotto.

Sfrutto la definizione di autovalore e di autovettore:

Α·v = λ·v

Quindi considero:

A=matrice triangolare del tipo:

Applico quindi:

Che significa:  x = 0 ∧ y = -1

poi

Che significa: z = 0

poi

Che significa: z = 0

Quindi la matrice cercata A: