Ciao a tutti, ho un problema con l'esercizio 2 praticamente ho immesso sulla diagonale principale i valori -lambda però mi sono trovato come soluzione del polinomio caratteristico uguale a (1-lambda)(-2a*lambda+lambda^2+3a) il problema è che per questo ultimo termine come posso ricavare i suoi autovalori?
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Livello 0
Il polinomio caratteristico è come hai scritto tu
$(1-\lambda)(\lambda^2-2a\lambda+3a)$
e l'equazione caratteristica è ovviamente
$(1-\lambda)(\lambda^2-2a\lambda+3a)=0$
un autovalore è ovviamente $\lambda_1=1$
gli altri due si trovano risolvendo l'equazione di secondo grado
$\lambda^2-2a\lambda+3a=0$
che ha per risultati
$\lambda_2=a+\sqrt{a(a-3)}$
$\lambda_3=a-\sqrt{a(a-3)}$
ora devi studiare cosa accade a $\lambda_2$ e $\lambda_3$ al variare di $a$.
scusa se mi permetto il commento: secondo me ti sei perso in un bicchiere d'acqua. Sai sicuramente risolvere un'equazione di secondo grado, anche se parametrica.
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Livello 9
Il polinomio caratteristico della matrice - che denoto $A\,$ - è dato dalla relazione
\[p_A (\lambda) = \det{(A - \lambda I)} = \det{\begin{pmatrix} 0 - \lambda & -3a & 0 \\ 1 & 2a - \lambda & 0 \\ 1 & -3 & 1 - \lambda\end{pmatrix}} = \lambda^3 - (1 + 2a)\lambda^2 + 5a\lambda - 3a\,.\]
Per il lemma di Ruffini si ha
\[p_A(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 2a\lambda +3a)\,.\]
Per trovare le radici del polinomio, ovvero gli autovalori, si risolve banalmente l'equazione caratteristica associata e si ottengono
\[\lambda_1 = 1 \qquad \lambda_2 = a - \sqrt{a(a - 3)} \qquad \lambda_3 = a + \sqrt{a(a - 3)}\,.\]
Per un noto teorema dell'algebra lineare, la matrice è diagonalizzabile se e solo se
\[\sum_i \mu_a(\lambda_i) = \sum_i \mu_g(\lambda_i)\,,\]
ovvero se e solo se gli autovalori sono distinti. Ergo
\[i)\;\text{La matrice e' diagonalizzabile in}\; \mathbb{R} \;\text{se}\; a > 3 \lor a < 0\,;\]
\[ii)\;\text{La matrice non e' diagonalizzabile in}\; \mathbb{R} \;\text{se}\; 0 \leq a \leq 3\,,\; \text{in quanto gli autovalori risultato complessi coniugati}\,.\]
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Livello 5
Polinomio caratteristico. $ P(λ) = -λ^3+(2a+1)λ^2-5aλ+3a$
Autovalori.
Si vede che λ=1 è un divisore del polinomio caratteristico, cioè P(1) = 0. Per il teorema di Ruffini il polinomio sarà divisibile per (λ-1). Procediamo con la divisione.
$ (-λ^3+(2a+1)λ^2-5aλ+3a) : (λ-1) = - λ^2+2aλ-3a$
Le radici di quest'ultimo polinomio si ottengono dalla formula risolutrice delle equazioni di secondo grado. Possiamo usare la ridotta.
$ λ_{2,3} = a \pm \sqrt{a^2-3a} $
I tre autovalori sono:
$ λ_1 = 1, \; λ_2 = a - \sqrt{a^2-3a}, \; λ_3 = a + \sqrt{a^2-3a} $
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Livello 4
