[Risolto] Assioma di completezza

Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi. $(A,B)$ è una sezione del campo algebrico dei reali, noto anche come taglio di Dedekind, se:

\[A \cup B = \mathbb{R} \qquad A \neq \emptyset \land B \neq \emptyset \,;\]

\[a \leq b \quad \forall a \in A \land \forall b \in B\,.\]

Nel tuo libro, a differenza della seconda definizione data, viene definita la sezione di $\mathbb{R}\,$, seppur ci sia un'incongruenza dal punto di vista matematico. Rispondendo alla tua domanda, "sezione" e "sottoinsieme" non sono la stessa cosa, come è banalmente verificabile.

Rispondendo alla seconda domanda, si tratta di linguaggio matematico-logico, di logica proposizionale. Nell'Assioma di Dedekind, l'elemento separatore è unico in quanto risulta il più piccolo numero reale che soddisfa la proprietà di essere la maggiorante di $A$ e la minorante di $B$ nel caso di una partizione del campo algebrico dei reali.

Entrambe le definizioni assiomatiche sono matematicamente corrette, seppur la prima presenti un'imprecisione.