Salve, mi aiutereste a trovare l'asintoto obliquo di y = (x-1)*e^(1/x), per favore?
Salve, mi aiutereste a trovare l'asintoto obliquo di y = (x-1)*e^(1/x), per favore?
Per i calcoli ci pensi tu?
y = (x - 1)·e^(1/x) è la funzione
Condizioni necessarie:
LIM((x - 1)·e^(1/x))=+∞
x---> +∞
LIM((x - 1)·e^(1/x)) = -∞
x---> -∞
Mi aspetto un asintoto unico
m = coefficiente angolare dell'asintoto
LIM((x - 1)·e^(1/x)/x) =1
x---> +∞
LIM((x - 1)·e^(1/x)/x)= 1
x---> -∞
q = ordinata all'origine dell'asintoto
LIM((x - 1)·e^(1/x) - 1·x)=0
x---> +∞
LIM((x - 1)·e^(1/x) - 1·x)= 0
x--> -∞
y = x asintoto obliquo
Calcoliamo i parametri m, coefficiente angolare e q intercetta co asse y della retta asintoto.
$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{y(x)}{x} = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{(x-1)\cdot e^{\frac{1}{x}}}{x} = 1 $
nota l'esponenziale tende a 1.
$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}y(x) - mx = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} (x-1)\cdot e^{\frac{1}{x} }- x = $
fattorizziamo la x
$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} x(e^{\frac{1}{x}} - 1 -\frac {e^{\frac{1}{x}} }{x})= $
forma indeterminata del tipo ∞*0. Passiamo alla forma 0/0
$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{(e^{\frac{1}{x}} - 1 -\frac {e^{\frac{1}{x}} }{x})}{\frac{1}{x}}= $
Applichiamo de l'Hôpital
$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{(e^{\frac{1}{x}})}{x^3}} {-\frac{1}{x^2}}= $
$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} = 0$
L'asintoto ha equazione
$ y = x$
cioè è la bisettrice del 1°-3° quadrante.
Il coefficiente angolare e l'intercetta si calcolano tramite le relazioni
\[\lim_{x\to\infty} \frac{(x - 1)e^{\frac{1}{x}}}{x} \overset{\infty}{\approx} \lim_{x\to\infty} \frac{x e^{\frac{1}{x}}}{x} = 1 = m\,,\]
\[\lim_{x\to\infty} \left[(x - 1)e^{\frac{1}{x}} - mx\right] \overset{\infty}{\approx} \lim_{x\to\infty} \left[xe^{\frac{1}{x}} - mx\right] = 0 = q\,.\]
Di conseguenza l'equazione dell'asintoto obliquo risulta
\[y = mx + q = x\,.\]