asintoto obliquo (limiti e derivate)

Per i calcoli ci pensi tu?

y = (x - 1)·e^(1/x) è la funzione

Condizioni necessarie:

LIM((x - 1)·e^(1/x))=+∞

x---> +∞

LIM((x - 1)·e^(1/x)) = -∞

x---> -∞

Mi aspetto un asintoto unico

m = coefficiente angolare dell'asintoto

LIM((x - 1)·e^(1/x)/x) =1

x---> +∞

LIM((x - 1)·e^(1/x)/x)= 1

x---> -∞

q = ordinata all'origine dell'asintoto

LIM((x - 1)·e^(1/x) - 1·x)=0

x---> +∞

LIM((x - 1)·e^(1/x) - 1·x)= 0

x--> -∞

y = x asintoto obliquo

Calcoliamo i parametri m, coefficiente angolare e q intercetta co asse y della retta asintoto.

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{y(x)}{x} =  \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{(x-1)\cdot e^{\frac{1}{x}}}{x} = 1 $

nota l'esponenziale tende a 1.

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}y(x) - mx = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} (x-1)\cdot e^{\frac{1}{x} }- x = $

fattorizziamo la x

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} x(e^{\frac{1}{x}} - 1 -\frac {e^{\frac{1}{x}} }{x})= $

forma indeterminata del tipo ∞*0. Passiamo alla forma 0/0

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{(e^{\frac{1}{x}} - 1 -\frac {e^{\frac{1}{x}} }{x})}{\frac{1}{x}}= $

Applichiamo de l'Hôpital

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{(e^{\frac{1}{x}})}{x^3}} {-\frac{1}{x^2}}= $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} = 0$

L'asintoto ha equazione 

$ y = x$

cioè è la bisettrice del 1°-3° quadrante.

Il coefficiente angolare e l'intercetta si calcolano tramite le relazioni

\[\lim_{x\to\infty} \frac{(x - 1)e^{\frac{1}{x}}}{x} \overset{\infty}{\approx} \lim_{x\to\infty} \frac{x e^{\frac{1}{x}}}{x}  = 1 = m\,,\]

\[\lim_{x\to\infty} \left[(x - 1)e^{\frac{1}{x}} - mx\right] \overset{\infty}{\approx} \lim_{x\to\infty} \left[xe^{\frac{1}{x}} - mx\right]  = 0 = q\,.\]

Di conseguenza l'equazione dell'asintoto obliquo risulta

\[y = mx + q = x\,.\]