[Risolto] Asintoti

Ciao!

Cominciamo col dominio: $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

Quindi il dominio è: $(-\infty; -1) \cup (-1 ; + \infty)$

Gli asintoti li cerchiamo calcolando i limiti agli estremi del dominio.

Cominciamo con $-\infty$:

$\lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x^2+3}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $

Raccogliamo il grado massimo per risolvere la forma di indecisione:

$\lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x^2+3}{x+1}  = \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x^2(1+\frac{3}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $

$= \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x(1+\frac{3}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} $

ma $\frac{3}{x^2}$ e $\frac{1}{x}$ tendono a zero, quindi:

$= \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x(1+0)}{1+0} =-\infty $

Quindi potrebbe avere un asintoto obliquo. Verifichiamolo:

Calcoliamo il coefficiente angolare: 

$$ m = \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{f(x)}{x}$$ 

$ m = \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \rightarrow - \infty} frac{x(1+\frac{3}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})}\frac{1}{x} = 1 $

quindi $m = 1$

Calcoliamo $q$:

$$ q = \lim_{x \rightarrow - \infty} [f(x)-mx] $$

$ q = \lim_{x \rightarrow - \infty} [f(x)-mx] = \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x^2+3}{x+1}-1 \cdot x = $

$= \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x^2+3-(x+1)x}{x+1} = \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x^2+3-x^2-x}{x+1} =$

$= \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{-x+3}{x+1} $

usiamo ancora la tecnica del raccoglimento del grado massimo, e otteniamo $-1$

Quindi l'asintoto obliquo è $y = x-1$

Calcoliamo il limite a $-1$:

$\lim_{x \rightarrow - 1^+} \frac{x^2+3}{x+1} = \lim_{x \rightarrow - 1^+} \frac{1^2+3}{-1^++1}= \frac{4}{0^+} = +\infty$

mentre

$\lim_{x \rightarrow - 1^-} \frac{x^2+3}{x+1} = \lim_{x \rightarrow - 1^-} \frac{1^2+3}{-1^-+1}= \frac{4}{0^-} = -\infty$

Quindi $ x = -1$ è asintoto verticale (bilatero, cioè sia a $-1^+$ sia a $-1^-$).

Calcoliamo il limite a $+\infty$:

A $+\infty$ viene uguale a $-\infty$:

$\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^2+3}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $

Raccogliamo il grado massimo per risolvere la forma di indecisione:

$\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^2+3}{x+1}  = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2(1+\frac{3}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = +\infty $

Ricerchiamo anche qui l'asintoto obliquo:

$ m = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \rightarrow + \infty} frac{x(1+\frac{3}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})}\frac{1}{x} = 1 $

quindi $m = 1$

$ q = \lim_{x \rightarrow+ \infty} [f(x)-mx] = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+3}{x+1}-1 \cdot x = $

$= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+3-(x+1)x}{x+1} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+3-x^2-x}{x+1} =$

$= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-x+3}{x+1} $

e raccogliendo il grado massimo fa $-1$.

Quindi l'asintoto obliquo, anche a $+ \infty$, fa $y = x-1$.