Asintoti 993

• Asintoti verticali

La funzione è definita e continua in tutto ℝ, quindi nessun asintoto verticale.

• Asintoti orizzontali

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = $

forma indeterminata del tipo ∞-∞.

Moltiplichiamo e dividiamo per $(x+\sqrt{x^2+1})$ e di seguito applichiamo la formula della differenza di quadrati (a-b)(a+b) = a²-b². Si arriva così a

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x + \sqrt{x^2+1}} = 0 $

La funzione ammette un asintoto orizzontale destro di equazione y = 0

• Asintoto obliquo.

Osserviamo che

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = - ∞$

Ci potrebbe essere un asintoto obliquo. Determiniamone i parametri

$ m = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac {f(x)}{x} = $

siamo in presenza di valori negativi delle x, 

dalla √x² = |x| segue che per x negativi √x² = -x cioè x = -√x². Il limite diventa

$ m = \displaystyle\lim_{x \to -\infty}  1 - \frac{\sqrt{x^2+1}}{-\sqrt{x^2}} = 1 + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = 2 $

Calcoliamo q.

$ q = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) - 2x = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} x-\sqrt{x^2+1} - 2x =  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} -\sqrt{x^2+1} - x = $

come in precedenza abbiamo moltiplicato e diviso per $(-x + \sqrt{x^2+1})$

$ q = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{ - x^2 - 1 + x^2}{-x + \sqrt{x^2+1}} = 0 $

L'asintoto obliquo laterale sinistro ha equazione y = 2x

y = x - √(x^2 + 1)

definita su tutto R

Condizioni agli estremi del C.E.

LIM(x - √(x^2 + 1)) = -∞

x → -∞

(forma determinata (-∞-∞) = (-∞))

Potrebbe starci asintoto obliquo sinistro (è condizione necessaria)

LIM(x - √(x^2 + 1)) = 0

x → -∞                          

(forma indeterminata (+∞-∞): si scioglie l'indeterminazione razionalizzando il denominatore : fattore razionalizzante x + √(x^2 + 1))

Il limite indica asintoto orizzontale destro y=0

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Asintoto obliquo: y=2x sinistro

m=

LIM((x - √(x^2 + 1))/x)  =2 ≠ 0

x → -∞

(si porta fuori radice con il modulo |x| lo si libera e diventa -x. Quindi x-(-x)=2x la radice tende ad 1: si semplifica la x con quella a denominatore e rimane 2) 

x - √(x^2 + 1) - 2·x = - √(x^2 + 1) - x

q=

LIM(- √(x^2 + 1) - x) = 0

x → -∞                              

(forma indeterminata  (-∞+∞)   che si scioglie razionalizzando il denominatore)