Buongiorno, potreste spiegarmi come trovare gli eventuali asintoti de 993?
Grazie
Buongiorno, potreste spiegarmi come trovare gli eventuali asintoti de 993?
Grazie
La funzione è definita e continua in tutto ℝ, quindi nessun asintoto verticale.
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = $
forma indeterminata del tipo ∞-∞.
Moltiplichiamo e dividiamo per $(x+\sqrt{x^2+1})$ e di seguito applichiamo la formula della differenza di quadrati (a-b)(a+b) = a²-b². Si arriva così a
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x + \sqrt{x^2+1}} = 0 $
La funzione ammette un asintoto orizzontale destro di equazione y = 0
Osserviamo che
$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = - ∞$
Ci potrebbe essere un asintoto obliquo. Determiniamone i parametri
$ m = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac {f(x)}{x} = $
siamo in presenza di valori negativi delle x,
dalla √x² = |x| segue che per x negativi √x² = -x cioè x = -√x². Il limite diventa
$ m = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} 1 - \frac{\sqrt{x^2+1}}{-\sqrt{x^2}} = 1 + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} = 2 $
Calcoliamo q.
$ q = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) - 2x = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} x-\sqrt{x^2+1} - 2x = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} -\sqrt{x^2+1} - x = $
come in precedenza abbiamo moltiplicato e diviso per $(-x + \sqrt{x^2+1})$
$ q = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{ - x^2 - 1 + x^2}{-x + \sqrt{x^2+1}} = 0 $
L'asintoto obliquo laterale sinistro ha equazione y = 2x
y = x - √(x^2 + 1)
definita su tutto R
Condizioni agli estremi del C.E.
LIM(x - √(x^2 + 1)) = -∞
x → -∞
(forma determinata (-∞-∞) = (-∞))
Potrebbe starci asintoto obliquo sinistro (è condizione necessaria)
LIM(x - √(x^2 + 1)) = 0
x → -∞
(forma indeterminata (+∞-∞): si scioglie l'indeterminazione razionalizzando il denominatore : fattore razionalizzante x + √(x^2 + 1))
Il limite indica asintoto orizzontale destro y=0
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Asintoto obliquo: y=2x sinistro
m=
LIM((x - √(x^2 + 1))/x) =2 ≠ 0
x → -∞
(si porta fuori radice con il modulo |x| lo si libera e diventa -x. Quindi x-(-x)=2x la radice tende ad 1: si semplifica la x con quella a denominatore e rimane 2)
x - √(x^2 + 1) - 2·x = - √(x^2 + 1) - x
q=
LIM(- √(x^2 + 1) - x) = 0
x → -∞
(forma indeterminata (-∞+∞) che si scioglie razionalizzando il denominatore)