Asintoti

y = √(x^2 + 1) - 4·x

funzione definita su tutto R

Condizioni agli estremi del C.E.

LIM(√(x^2 + 1) - 4·x) = +∞

x---> -∞

LIM(√(x^2 + 1) - 4·x) = -∞

x---> +∞

Questi due limiti forniscono C.N. per l'esistenza di asintoti obliqui : 

y = m·x + q

Determiniamo 

m

LIM((√(x^2 + 1) - 4·x)/x) = -5

x----> -∞

LIM((√(x^2 + 1) - 4·x)/x) = -3

x----> +∞

Determiniamo 

q

LIM(√(x^2 + 1) - 4·x + 5·x) =0

x---> -∞

LIM(√(x^2 + 1) - 4·x + 3·x) =0

x---> +∞

Quindi abbiamo:

y=-5x: asintoto obliquo sinistro

y=-3x: asintoto obliquo destro

$y(x)=\sqrt{x^2+1}-4x$

• Dominio = ℝ

Nessun punto di discontinuità, nessun asintoto verticale.

Comportamento all'infinito.

Verifichiamo la presenza di un asintoto obliquo. Nel caso in cui m fosse eguale a 0 ci troveremo di fronte ad un asintoto orizzontale.

1. a sinistra

$m_s={\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y(x)}{x}=-1-4=-5}$

$q_s={\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y(x)+x=0}$

Un asintoto obliquo a sinistra di equazione y = -5x

2. a destra

$m_d={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y(x)}{x}=1-4=-3}$

$q_d={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)-x=0}$

Un asintoto obliquo a sinistra di equazione y = -3x