Asintoti

$y(x)=\frac{2x^4+1}{x^3-x}=\frac{2x^4+1}{x(x^2-1)}$

• Dominio = ℝ\{-1,0,1}

Tre punti di discontinuità.

1. 

${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to -1^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$

Ci troviamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = -1

2. 

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$

Ci troviamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 0

3. 

${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$

Ci troviamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 1

Determiniamo il comportamento della funzione all'infinito

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y(x)=-\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)=+\mathrm{\infty }}$

Non ci sono asintoti orizzontali.

Osserviamo che il numeratore è un polinomio di grado 4 mentre il numeratore è sempre un polinomio ma di grado 3. Potrebbe essere presente un asintoto obliquo. Calcoliamo i parametri m e q.

$m={\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y(x)}{x}=2}$

$q={\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y(x)-2x={\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2-1}{x^3-x}=0}}$

L'asintoto obliquo è la retta y = 2x