[Risolto] Asintoti

$y = \sqrt{\frac{2x^3-1}{x}}$

Cominciamo col determinare il dominio della funzione, chiedendo che il radicando sia non negativo:

$\frac{2x^3-1}{x} \geq 0$

Studiando i segni della frazione:

$2x^3-1 \geq 0$ -> $x \geq \sqrt[3]{1/2}$

$x >0$

Otteniamo che la funzione è definita per $x<0$ o per $x \geq \sqrt[3]{1/2}$.

Cominciamo con il possibile asintoto verticale sinistro in 0:

$lim_{x \rightarrow 0^-} \sqrt{\frac{2x^3-1}{x}} = \sqrt{\frac{-1}{0^-}} = +\infty$

Dunque abbiamo l'asintoto sinistro $x=0$.

L'orizzontale naturalmente non è presente, passiamo direttamente agli obliqui:

$m=lim_{x \rightarrow \pm \infty} \sqrt{\frac{2x^3-1}{x}} \frac{1}{x} = \sqrt{\frac{2x^3-1}{x^3}} = \pm \sqrt{2}$

$q=lim_{x \rightarrow \pm \infty} \sqrt{\frac{2x^3-1}{x}} \pm \sqrt{2} x$

Facendo il mcm:

$ q=lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\sqrt{2x^3-1} \pm \sqrt{2x^3}}{\sqrt{x}} $

Procediamo moltiplicando e dividendo per la somma/differenza delle radici:

$ q=lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2x^3 -1 -2x^3}{\sqrt{x} (\sqrt{2x^3-1} \pm \sqrt{2x^3})} = 0$

Quindi gli asintoti obliqui sono (giustamente!)

$y = \pm \sqrt{2} x$

Noemi

CONFERMEREI se mi fidassi di me stesso, ma sono molto fuori di me.
La funzione
* y = √((2*x^3 - 1)/x)
in quanto funzione, asintoti non ne può avere.
E' la curva Γ del suo grafico
* Γ ≡ y = √((2*x^3 - 1)/x)
che può averne, e che ne ha.
La y
* è indefinita solo in x = 0, dove Γ ha l'unico asintoto verticale;
* ha valori reali per x < 0 e per x >= 2^(- 1/3) ~= 0.79 dove ha l'unico zero;
* tende a + ∞ per x tendente sia a + ∞ che a - ∞, quindi Γ non può avere asintoti orizzontali, ma potrebbe averne di obliqui se fosse finito l'uno o l'altro dei limiti all'infinito del rapporto y/x che darebbero le pendenze.
* lim_(x → - ∞) (√((2*x^3 - 1)/x)/x) = - √2
* lim_(x → + ∞) (√((2*x^3 - 1)/x)/x) = + √2
NB: l'esistenza delle pendenze non garentisce l'esistenza degli asintoti obliqui se prima non se ne ottengono le intercette dai limiti di "f(x) - m*x".