[Risolto] Esercizi di Aritmetica (MCD e mcm)

Gli esercizi su MCD/mcm NON SI FANNO CON LE SCOMPOSIZIONI (salvo che in quarta e quinta elementare), ma con l'algoritmo di Euclide (già dalla prima media) col quale basta saper ottenere quoziente e resto da dividendo e divisore dati.
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Calcolo di MCD(dividendo, divisore)
(dividendo, divisore) → (quoziente, resto)
Se resto = 0, allora MCD = divisore
Altrimenti
* porre dividendo = divisore
* porre divisore = resto
* reiterare a partire dalla divisione.
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mcm(a, b) = (max(a, b)/MCD(a, b))*min(a, b)
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Entrambe le operazioni sono commutative e associative da entrambi i lati, perciò se ne può estendere la definizione a un numero qualsiasi di operandi e si può scrivere (ed eseguire) indifferentemente
* mcm(36, 40, 77) = mcm(36, mcm(40, 77)) = mcm(mcm(36, 40), 77).
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TUTTO CIO' PREMESSO, ti mostro come procedere in un paio di casi.
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349a) (36, 18, 54)
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1) MCD(36, 18, 54) = MCD(54, 36, 18) = MCD(MCD(54, 36), 18)
* (54, 36) → (1, 18)
* (36, 18) → (2, 0) <== resto = 0 !
* MCD(54, 36) = 18
MCD(36, 18, 54) = MCD(MCD(54, 36), 18) = MCD(18, 18) = 18
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2) mcm(36, 18, 54) = mcm(54, 36, 18) = mcm(mcm(54, 36), 18) =
= mcm((54/18)*36, 18) =
= mcm(108, 18) =
= (108/MCD(108, 18))*18
* (108, 18) → (6, 0) <== resto = 0 !
* MCD(108, 18) = 18
mcm(36, 18, 54) = (108/MCD(108, 18))*18 = (108/18)*18 = 108
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347b) (12, 20, 15)
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1) MCD(12, 20, 15) = MCD(20, 15, 12) = MCD(MCD(20, 15), 12)
* (20, 15) → (1, 5)
* (15, 5) → (3, 0) <== resto = 0 !
* MCD(20, 15) = 5
MCD(12, 20, 15) = MCD(MCD(20, 15), 12) = MCD(5, 12) = MCD(12, 5)
* (12, 5) → (2, 2)
* (5, 2) → (2, 1)
* (2, 1) → (2, 0) <== resto = 0 !
* MCD(12, 5) = 1
MCD(12, 20, 15) = 1
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2) mcm(12, 20, 15) = mcm(20, 15, 12) = mcm(mcm(20, 15), 12) =
= mcm((20/5)*15, 12) =
= mcm(60, 12) =
= (60/MCD(60, 12))*12
* (60, 12) → (5, 0) <== resto = 0 !
* MCD(60, 12) = 12
mcm(12, 20, 15) = (60/MCD(60, 12))*12 = (60/12)*12 = 60

Ciao,

347

$(13;39;117)$

Per calcolare il MCD e il mcm dei seguenti numeri, attraverso il metodo dei fattori, scriviamo la scomposizione in fattori primi di ogni singolo numero, ovvero:

$13= 13$

$39= 13×3$

$117=3²×13$

Per il MCD bisogna moltiplicare tutti i fattori primi comuni, con l'esponente più piccolo. Quindi:

$MCD=13$

Per il mcm bisogna moltiplicare tutti i fattori primi comuni e non comuni, con l'esponente più grande. Quindi:

$mcm=3²×13=117$

$(12;20;15)$

$12= 2²×3$

$20= 2²×5$

$15=3×5$

$MCD=1$

$mcm=2²×3×5=4×3×5=60$

348

$(16;20;42)$

$16= 2⁴$

$20= 2²×5$

$42=2×3×7$

$MCD=2$

$mcm=2⁴×3×5×7=16×3×5×7=1680$

$(4;20;50)$

$4= 2²$

$20= 2²×5$

$50=2×5²$

$MCD=2$

$mcm=2²×5²=4×25=100$

349

$(36;18;54)$

$36= 2²×3²$

$18= 2×3²$

$54=2×3³$

$MCD=2×3²=2×9=18$

$mcm=2²×3³=4×27=108$

$(22;33;110)$

$22= 2×11$

$33= 3×11$

$110=2×5×11$

$MCD=11$

$mcm=2×3×5×11=330$

saluti ?