Argomentare e dimostrare.

$ f(x) = |2x-4| $ che può essere rappresentata come

$ f(x) = \begin{cases} 2x-4 \; & \text{se x ≥ 2} \\ 4-2x \; & \text{se x < 2} \end{cases} $

Le cui primitive sono

$ F(x) = \begin{cases} x^2-4x + c_1 \; & \text{se x ≥ 2} \\ 4x-x^2+c_2 \; & \text{se x < 2} \end{cases} $

Imponiamo la condizione "passa per P(1, 1)"

$F(1) = 1$

$ 4 - 1 + c_2 = 1 \, ⇒ \; c_2 = - 2 $

Per loro natura le primitive sono funzioni continue, imponiamo la continuità anche nel punto x = 2

• $ F(2) = x^2-4x+c_1 = 4x-x^2-2 \, ⇒ \; c_1 = 8-4-2-4+8 = 6 $

Abbiamo scritto per entrambe le funzioni il valore F(2) avremmo formalmente dovuto scrivere per la seconda il limite per x → 2. Per maggior chiarezza abbiamo preferito usare F(2) anche in quel caso sapendo che il valore coinciderà con il limite.

La funzione cercata è così

$ F(x) = \begin{cases} x^2-4x + 6 \; & \text{se x ≥ 2} \\ 4x-x^2-2 \; & \text{se x < 2} \end{cases} $