Aree integrali

• Grafico

Dal grafico notiamo

• la simmetria per cui possiamo ridurre il calcolo nell'intervallo [0, π/2]
• la presenza di un'area "negativa". 

Calcoliamo le due aree

1.  

$ A_1 =  - \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2sin^2x-sinx \, dx $

$ A_1 = - \left. x+cosx-sinx\,cosx \right|_0^{\frac{\pi}{6}}$

$ A_1 = -(-1+\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6}) $

2.  

$ A_2 =   \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 2sin^2x-sinx \, dx $

$ A_2 =  \left. x+cosx-sinx\,cosx \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$ A_2 = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3}$

Passiamo alla conclusione, ricordando la simmetria avremo

$ A = 2(A_1 + A_2) = 2 (1-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3})$

$ A = 2(1+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}) $

$ A = 2 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3} $