Dato un rettangolo $A B C D$, in cui $A B=4 \mathrm{~cm}$ e $B C=2 \mathrm{~cm}$. Determina due punti $P$ e $Q$, appartenenti rispettivamente ad $A B$ e $C D$, che soddisfino entrambe le seguenti condizioni:
a. $3 \overline{P B}+\overline{D Q}=2 \overline{Q C}$;
b. l'area del trapezio $P B C Q$ sia il doppio dell'area del trapezio $A P Q D$.
$$
\left[A P=2 \mathrm{~cm}, Q C=\frac{10}{3} \mathrm{~cm}\right]
$$
50
punti
Livello 0
Ripasso
L'area S del trapezio WXYZ è il prodotto fra l'altezza, |WZ| = |XY| = h > 0, e la media delle basi, a = |WX| e b = |YZ|,
* S = h*(a + b)/2
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Se di due valori incogniti u > v > 0 sono note somma s e differenza d essi valgono semisomma e semidifferenza dei dati
* u = (s + d)/2
* v = (s - d)/2
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Esercizio
Si chiede di posizionare, in un rettangolo ABCD di base |AB| = |CD| = b = 2*h e altezza |AD| = |BC| = h > 0, un punto P sul lato AB e un punto Q sul lato BC in posizioni che soddifacciano alla condizione
* (3*|PB| + |DQ| = 2*|QC|) & (S(PBCQ) = 2*S(APQD))
cioè, con x = |AP| ed y = |QC|, alla
* (3*(b - x) + (b - y) = 2*y) & (h*((b - x) + y)/2 = 2*h*((b - y) + x)/2) & (b = 2*h > 0) ≡
≡ (4*b - 3*(x + y) = 0) & ((h/2)*(b + 3*(x - y)) = 0) & (b = 2*h > 0) ≡
≡ ((y + x) = 4*b/3) & ((y - x) = b/3) & (b = 2*h > 0) ≡
≡ ((y + x) = 8*h/3) & ((y - x) = 2*h/3) & (h > 0) ≡
≡ (x = (8*h/3 - 2*h/3)/2 = h) & (y = (8*h/3 + 2*h/3)/2 = 5*h/3) & (h > 0)
Risultato
Per h = 2 il risultato atteso di |AP| è corretto, ma per quello di |QC| si dimenticarono di dimezzare.
57382
punti
Genius I
