[Risolto] Aree con integrali

y = a/x y = 9/2 - x

Se non lo sai perché a é incognito

scrivi in valore assoluto

| S_[1/2,4] (a/x + x - 9/2) dx | = 63/8 - 3 ln 4

| [ a ln x + x^2/2 - 9/2 x ]_[1/2, 4] | = 63/8 - 3 ln 4

| a ln 8 + 1/2 (16 - 1/4) - 9/2 * 7/2 | = 63/8 - 3 ln 4

| 1/2 a ln 64 + 63/8 - 63/4 | = 63/8 - 3 ln 4

| a/2 ln 4^3 - 63/8 | = 63/8 - 3 ln 4

| 3 a/2 ln 4 - 63/8 | = 63/8 - 3 ln 4

Se 3 a/2 ln 4 - 63/8 >= 0

a >= 21/(4 ln 4) = 3.787

3a/2 ln 4 + 3 ln 4 = 63/4

(a/2 + 1) = 21/(4 ln 4)

a = 21/(2 ln 4) - 2 = 5.57 ( accettabile )

Se invece a < 3.787

63/8 - 3/2 a ln 4 = 63/8 - 3 ln 4

3 ln 4 (a/2) = 3 ln 4

a/2 = 1 => a = 2

anch'esso accettabile

Il fascio di iperboli equilatere riferite agli asintoti
* Γ(a) ≡ y = a/x ≡ x*y = a > 0
ha i rami Γ1 e Γ3, simmetrici rispetto al centro nell'origine, nel primo e nel terzo quadrante per la positività del parametro; ed ha i vertici in V1(- √a, - √a) e in V2(√a, √a).
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La retta
* r ≡ 2*x + 2*y - 9 = 0 ≡ y = 9/2 - x ≡ x/(9/2) + y/(9/2) = 1
che interseca gli assi in (0, 9/2) e in (9/2, 0), con [1/2, 4] ⊂ [0, 9/2], ha gli eventuali punti comuni con Γ1 nelle soluzioni di
* (y = 9/2 - x) & (x*y = a > 0) ≡
≡ A((9 - √(81 - 16*a))/4, (9 + √(81 - 16*a))/4) oppure B((9 + √(81 - 16*a))/4, (9 - √(81 - 16*a))/4)
cioè
* per a < 81/16, r è secante Γ1, la sovrasta fra le intersezioni e le soggiace all'esterno
* per a = 81/16, r è tangente Γ1 nel vertice V2(9/4, 9/4) e le soggiace altrove
* per a > 81/16, r è esterna a Γ1 e le soggiace ovunque
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Le intersezioni di Γ1 con le parallele x = 1/2 e x = 4 sono
* (x = 1/2) & (x*y = a) & (a > 0) ≡ C(1/2, 2*a)
* (x = 4) & (x*y = a) & (a > 0) ≡ D(4, a/4)
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«Salve, come faccio a sapere che la curva y=a/x si trovi sotto la retta di equazione y=-x+9/2 ai fini di calcolare correttamente l’area? Mi basta la risposta a questa domanda»
Esaminando la reciproca posizione dei segmenti AB e CD alla luce della distinzione di casi nel confronto fra 81/16 ed a.