[Risolto] Aree con Integrali

Preliminari
Da
* f(x) = y = x^4 - 2*x^3 + 2, il grafico
* f'(x) = m(x) = 4*x^3 - 6*x^2, la pendenza
* f''(x) = 12*x^2 - 12*x, l'orientamento della concavità
si trovano i punti di flesso A e B come quelli privi di concavità
* f''(x) = 12*x^2 - 12*x = 0 ≡ (x = 0) oppure (x = 1)
da cui
* {f(0) = 2, m(0) = 0} → A(0, 2) → tA ≡ y = 2
* {f(1) = 1, m(1) = - 2} → B(1, 1) → tB ≡ y = 1 - 2*(x - 1) ≡ y = 3 - 2*x
* tA & tB ≡ (y = 2) & (y = 3 - 2*x) ≡ C(1/2, 2)
Tracciamento
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%282-y%29*%283-2*x-y%29%3D0%2Cy-2%3Dx%5E4-2*x%5E3%5Dx%3D-1.5to2.5
Area
* S(ABC) = ∫ [x = 0, 1/2] (2 - (x^4 - 2*x^3 + 2))*dx + ∫ [x = 1/2, 1] (3 - 2*x - (x^4 - 2*x^3 + 2))*dx =
= 1/40 + 1/40 = 1/20
che è proprio il risultato atteso.

Calcolo le derivate per tangenti e flessi

y' = 4x^3 - 6x^2

y'' = 12 x^2 - 12 x = 0 se 12x(x - 1) = 0

x1 = 0 e x2 = 1

f(0) = 2 e f(1) = 1 - 2 + 2 = 1

m0 = y'(0) = 0 e m1 = 4 - 6 = -2

t0) y - 2 = 0 => y = 2

t1) y - 1 = -2(x - 1)

y = - 2x + 3

Intersezione C

-2x + 3 = 2

2x = 1

x = 1/2 e y = 2

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/nc1xrdc2gj

E allora S = S1 + S2 =

= S_[0,1/2] [2 - (x^4 - 2x^3 + 2)] dx + S_[1/2,1] [-2x + 3 - x^4 + 2x^3 - 2] dx

= [2x^4/4 - x^5/5]_[0,1/2] + [ x - x^2 + 2x^4/4 - x^5/5 ]_[1/2,1] =

= (1/2 * 1/16 - 1/5 * 1/32) + [ ( 1/2 - 1/5 ) - ( 1/2 - 1/4 + 1/32 - 1/160 ) ] =

= 1/32 - 1/160 + 3/10 - 1/4 - 1/32 + 1/160 =

= 3/10 - 1/4 = (6 - 5)/20 = 1/20