Aree con gli integrali

Cubica

y = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

d = 0 perché passa per l'origine

y' = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

c = 0 perché in x=0 si ha un minimo relativo

y = a·x^3 + b·x^2

{passa per [2, 2]

{max rel in x=2

quindi:

{2 = a·2^3 + b·2^2

{0 = 3·a·2^2 + 2·b·2

quindi: 

{8·a + 4·b = 2

{12·a + 4·b = 0

risolvo: [a = - 1/2 ∧ b = 3/2]

y = 3·x^2/2 - x^3/2

Parabola

y = a·x^2 + b·x

{2 = a·(-1)^2 + b·(-1)

{2 = a·2^2 + b·2

risolvo:

{a - b = 2

{4·a + 2·b = 2

ottengo: [a = 1 ∧ b = -1] 

y = x^2 - x

area verde

(x^2 - x) - (3·x^2/2 - x^3/2) = (x^3 - x^2 - 2·x)/2

∫((x^3 - x^2 - 2·x)/2) dx =

=x^4/8 - x^3/6 - x^2/2

x = 0 : vale 0

(-1)^4/8 - (-1)^3/6 - (-1)^2/2 = - 5/24

A(verde)=5/24

(3·x^2/2 - x^3/2) - (x^2 - x) = - x^3/2 + x^2/2 + x

∫(- x^3/2 + x^2/2 + x) dx =

= - x^4/8 + x^3/6 + x^2/2

per x=2:

- 2^4/8 + 2^3/6 + 2^2/2= 4/3

Per x = 0 : 0

A(viola)=4/3