Aree con gli integrali

Preliminare. L'iperbole equilatera è rappresentata dalla così detta funzione omografica, cioè

$ y = \frac{ax+b}{cx+d} $

Tutte le coniche, con asse di simmetria parallelo a un asse cartesiano, sono individuate univocamente se si conoscono tre punti, ovvero dipendono da 3 parametri. Nella funzione omografica ne compaiono 4, uno di loro corrisponde al concetto di variabile libera, cioè possiamo attribuire ad un parametro, scelto a piacere un valore a nostro piacimento. Scegliamo c = 1. 

Le funzioni da definire avranno la forma

$ y = \frac{ax+b}{x+d} $

1.  f(x)  

dal grafico notiamo che:

• ha un asintoto orizzontale di equazione y = 2. Per l'asintoto orizzontale vale $\frac{a}{c} = 2$ cioè a = 2. La forma si riduce alla $ y = \frac{2x+b}{x+d} $
• passa per il punto P(-2, 0) quindi $ 0 = \frac{-4+b}{-2+d} \; ⇒ \; b = 4$.  La forma si riduce alla $ y = \frac{2x+4}{x+d} $
• passa per il punto P(-1, -1) quindi $ -1 = \frac{-2+4}{-1+d} \; ⇒ \; d = -1 $ . L'equazione della f(x) è quindi

$f(x) = \frac{2x+4}{x-1} $ 

2.  g(x)  

dal grafico notiamo che:

• ha un asintoto orizzontale di equazione y = -2. Per l'asintoto orizzontale vale $\frac{a}{c} = -2$ cioè a = -2. La forma si riduce alla $ y = \frac{-2x+b}{x+d} $
• passa per il punto P(0, 0) quindi $ 0 = \frac{b}{d} \; ⇒ \; b = 0$.  La forma si riduce alla $ y = \frac{-2x}{x+d} $
• passa per il punto P(-1, -1) quindi $ -1 = \frac{2}{-1+d} \; ⇒ \; d = -1 $ . L'equazione della f(x) è quindi

$g(x) = -\frac{2x}{x-1} $ 

3. Valutiamo l'area A.

Integriamo rispetto all'asse delle x. L'area totale sarà data dalla somma di due singoli integrali che misurano l'area tra due curve (asse delle x - f(x) o g(x) rispettivamente)

$ A = \int_{-2}^{-1} 0-f(x) \, dx + \int_{-1}^0 0-g(x) \, dx $

$ A = \int_{-2}^{-1} -\frac{2x+4}{x-1} \, dx + \int_{-1}^0 \frac{2x}{x-1} \, dx $

$ A = \left. 2x-6ln|x-1| \right|_{-2}^{-1} + \left. 2x+2ln|x-1| \right|_{-1}^0 $

$ A = ln(\frac{729}{64}) - 2 + 2 - ln4 $

$ A = ln(\frac{729}{64}) - ln4 $

$ A = ln(\frac{27^2}{16^2})$

$ A = 2ln (\frac{27}{16}) $