Area triangolo individuato da 3 parametri

@beppe

Vuol dire che devi mettere a sistema a due a due le tre rette.

x^2 + y^2 + 6·x - 1 = 0

riconosco il centro: O(-3,0)

x^2 + y^2 + 8·x - 6·y + 5 = 0

riconosco il centro: O'(-4,3)

Retta dei centri:

(y - 0)/(x + 3) = (3 - 0)/(-4 + 3)

y/(x + 3) = -3----------> y = - 3·x - 9

Asse radicale lo ottengo per differenza delle due equazioni:

{x^2 + y^2 + 6·x - 1 = 0

{x^2 + y^2 + 8·x - 6·y + 5 = 0

--------------------------------------- (sottraggo la 1^ dalla 2^)

2·x - 6·y + 6 = 0----------> x - 3·y + 3 = 0

Poi fai come ti ho detto inizialmente:

y = - 3·x - 9------->1)

x - 3·y + 3 = 0------->2)

x = 0-------------------->3)

Sistema 1) e 2)-----------> [x = -3 ∧ y = 0]

Sistema 1) e 3)-----------> [x = 0 ∧ y = -9]

Sistema 2) e 3)-----------> [x = 0 ∧ y = 1]

L'area del triangolo è ora semplice.......

Augurii anche a te!
Per riuscire a comprendere spesso basta mutare la presentazione.
TRIANGOLO INDIVIDUATO DA:
* asse delle y (x = 0);
* asse centrale del fascio di circonferenze generato da Γ1 e Γ2;
* asse radicale del fascio di circonferenze generato da Γ1 e Γ2;
se le tre rette fanno fascio, il loro triangolo degenera in un punto: area zero.
Se invece il sistema delle tre rette è incompatibile allora esse a due a due identificano i tre vertici (A, B, C) di un triangolo.
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Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area S del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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Primo esercizio: fascio di circonferenze
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Le circonferenze
* Γ1 ≡ x^2 + y^2 + 6*x -1 = 0 ≡ (x + 3)^2 + y^2 = (√10)^2
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 + 8*x - 6*y + 5 = 0 ≡ (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = (2*√5)^2
hanno centri
* C1(- 3, 0), C2(- 4, 3)
e intersezioni
* S1(- 6, - 1), S2(0, 1)
da cui
* asse centrale ≡ C1C2 ≡ y = - 3*x - 9
* asse radicale ≡ S1S2 ≡ y = x/3 + 1
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Secondo esercizio: area del triangolo date le rette dei lati
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Le rette
* x = 0, y = - 3*x - 9, y = x/3 + 1
delimitano un triangolo rettangolo (gli assi del fascio sono ortogonali) nel vertice
* (y = - 3*x - 9) & (y = x/3 + 1) ≡ C(- 3, 0)
con altri vertici
* (y = - 3*x - 9) & (x = 0) ≡ A(0, - 9)
* (x = 0) & (y = x/3 + 1) ≡ B(0, 1)
di area
* S(ABC) = 15
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x--3%29%5E2--y%5E2%3D10%2C%28x--4%29%5E2--%28y-3%29%5E2%3D20%2Cx*%28-y-3*x-9%29*%28-y--x%2F3--1%29%3D0%5Dx%3D-9to1%2Cy%3D-10to8