Area segmento parabolico

Conosci gli integrali?

Da A a B:

2 - (x^2 - 3·x + 2) = 3·x - x^2

∫(3·x - x^2)dx=3·x^2/2 - x^3/3

valutato tra x=0 ed x=1 vale:

3·1^2/2 - 1^3/3 = 7/6

Devi aggiungere area rettangolo centrale che vale 2

devi aggiungere  da C a D che per simmetria vale quanto la prima parte: 7/6

Fai la somma: 7/6 + 2 + 7/6 = 13/3

ho usato la formula diretta dell'area del segmento parabolico A = 1/6|a|(xB-xA)^3

Y = x^2 - 3x + 2; parabola;

y = 0; è l'asse x;

y = 2; è la retta parallela all'asse x, passa in y = 2;

punti di intersezione della parabola con le rette:

con l'asse x:

x^2 - 3x + 2 = 0;

x = [+ 3 +- radice(9 -8)] / 2 = [+ 3 +- 1] / 2,

x1 = (3 + 1)/2 = 2;  x2 = (3 - 1) / 2 = 1;

con l retta y = 2;

x^2 - 3x + 2 = 2;

x (x - 3) = - 2 + 2;

x (x - 3) = 0;

x1 = 0;  x2 = 3;

vertice:

xvertice = - b/2a = 3/2;

y vertice = (3/2)^2 - 3 * (3/2) + 2 = 9/4 - 9/2 + 2;

y vertice= 9/4 - 18/4 + 8/4 = - 1/4;

Area ABCD;

Area AHB;  AHBO - ABO; (area ABO sotto il ramo AB per x che va da 0  a 1);

AHBO = 1 * 2 = 2;

integrale per x che va da 0 a 1:

 ∫[2 - (x^2 - 3x + 2)] dx = ∫[- x^2 + 3x ] dx = [- x^3/3 + 3 x^2/2 ] =

per x = 1: 

Area ABH = - 1/3 + 3/2  = -2/6 + 9/6 = + 7/6; 

Area CDK = + 7/6;

Area BCKH = 2; (rettangolo centrale);

Area ABCD = 2 * 7/6 + 2 = 7/3 + 6/3 = 13/3.

Ciao  @una-ragazza-dello-scientifico

x^2-3x+2 = 2

x^2-3x = 0

∆ = 9

Per la formula di Francesco 

Sp = sqrt(∆^3)/(6a^2) = 27/6 = 9/2

x^2-3x+2=0

∆ = 9-8 = 1

e ancora S'p = sqrt(∆^3)/(6a^2) = 1/6

l'area richiesta è quindi 

9/2 - 1/6 = (27-1)/6 = 26/6 = 13/3