[Risolto] Area massima senza derivate

@frank9090

Ciao.

Facciamo riferimento alla figura seguente:

Quindi determiniamo la lunghezza della base AB:

{x^2 + y^2 = 1

{y = -k

Avendo supposto 0< k <1

Risolviamo:

x = √(1 - k^2) ∧ y = -k ,  x = √(1 - k^2) ∧ y = -k

Quindi per simmetria:

AB = 2·√(1 - k^2)

BC=√((1 + k)^2 + (1 - k^2)) = √2·√(k + 1) =AC

CON DERIVATE

quindi la funzione somma dei quadrati è:

f(k) =(2·√(1 - k^2))^2 + 2·(√2·√(k + 1))^2=(4 - 4·k^2) + (4·k + 4)

f(k)=- 4·k^2 + 4·k + 8

che presenta derivate:

f'(k)=4 - 8·k

f''(k)=-8 <0

quindi C.N. f'=0-----> 4 - 8·k = 0----> k = 1/2

C.S. per max f''<0

La somma massima dei quadrati costruiti sui lati vale:

f Max = - 4·(1/2)^2 + 4·(1/2) + 8------> f Max =9

SENZA DERIVATE

f(k)=- 4·k^2 + 4·k + 8

è una parabola ad asse verticale:

che sappiamo disegnare! (almeno lo spero!)

Se chiami $2\alpha$ l'angolo fra i due lati uguali del triangolo isoscele, ti risulta che gli altri due angoli valgono entrambi $90-\alpha$.

detto questo utilizzi il teorema della corda: la base si trova come

$b=2Rsin(2\alpha)=2sin(2\alpha)$ 

mentre i lati obliqui (uguali) valgono:

$l_1=l_2=2sin(90-\alpha)=2cos(\alpha)$

se sommi i quadrati ottieni:

$4sin^2(2\alpha)+4cos^2(\alpha)+4cos^2(\alpha)=16sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)+8cos^2(\alpha)$

utilizzando la relazione forndamentale della trigonometria $sin^2(\alpha)=1-cos^2(\alpha)$

si ottiene:

$8cos^2(\alpha)(3-2cos^2(\alpha))$

adesso cambi variabile e chiami $t=cos^2(\alpha)$

ti rimane 

$8t(3-2t)=-16t^2+24t$

Questa è un'espressione di secondo grado in t che ha il massimo in $t=-\frac{b}{2a}$ ovvero in $t=-\frac{24}{-32}=3/4$

Sostituendo a $t$ il valore $3/4$ si ottiene che la somma dei quadra ti vale:

$-16*9/16+24*3/4=9$

Questo è il massimo dei quadrati costruiti sui lati del triangolo isoscele e si ottiene, guarda caso che sorpresona, quando il triangolo non solo è isoscele, ma è anche EQUILATERO!!