Condotte dal punto P(0, −1) le tangenti alla parabola di equazione y=x2, determina l’area della regione finita di piano limitata dalla parabola e dalle due tangenti.
Condotte dal punto P(0, −1) le tangenti alla parabola di equazione y=x2, determina l’area della regione finita di piano limitata dalla parabola e dalle due tangenti.
157
punti
Livello 1
L'equazione di una retta tangente a una parabola, passante per $P(0,-1)\,$, in un punto $T(\psi, \psi^2) \mid \psi \in \mathbb{R}$ è data dalla relazione
\[y = 2\psi x - \psi^2 \:\Bigg|_{x = 0}^{y = -1} \implies 1 = \psi^2 \iff \psi = \pm 1\,;\]
allora
\[y = 2x - 1 \qquad y = -2x - 1\,.\]
I punti di intersezione con la parabola si ricavano tramite la risoluzione dei seguenti sistemi di equazioni:
\[\begin{cases}y = x^2 \\ y = 2x - 1 \end{cases} \implies (x - 1)^2 = 0 \iff x = 1 \mid L(1,1)\,.\]
\[\begin{cases}y = x^2 \\ y = -2x - 1 \end{cases} \implies (x + 1)^2 = 0 \iff x = -1 \mid Q(-1,1)\,.\]
L'area della regione topologica finita delimitata dalle tangenti e dal paraboloide bidimensionale si calcola come
\[\int_{-1}^{1} (2x - 1 - x^2)\: dx + \int_{-1}^{1} (-2x - 1 - x^2)\: dx = 2 \left[x^2 - x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} =\]
\[2\left(-\frac{2}{3} + \frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}\,.\]
3531
punti
Livello 5
y + 1 = mx
y = mx - 1
x^2 = mx - 1
x^2 - mx + 1 = 0
∆ = m^2 - 4 = 0
m = +-2
y = -2x-1
y = 2x-1
I due punti di tangenza li trovi per sostituzione
nella risolvente e sono A(-1,1) e B(1,1)
Il rettangolo di Archimede ha quindi base
b = |1-(-1)| = 2 e altezza h = |0-1| = 1.
Abbiamo terminato.
L'area richiesta è
Sp = 2/3 b h = 2/3*2*1 = 4/3.
45529
punti
Livello 7