[Risolto] AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO

Problema:

Condotte le tangenti alla parabola x=y²+y-2 nei suoi punti d'intersezione con l'asse y, determina l'area della regione finita di piano limitata dalla parabola e dalle due tangenti.

Soluzione:

Per determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola nei punti di intersezione di essa con l'asse delle ordinate è necessario prima di tutto trovare tali punti tramite il seguente sistema:

{x=y²+y-2, x=0} che risulta in $(x_1,y_1)=(0,-2)$ e $(x_2,y_2)=(0,1)$.

Le rette tangenti avranno dunque coefficiente angolare $m = \frac{dy}{dx}(y²+y-2-x)=-\frac{\frac{\partial{(y²+y-2-x)}}{\partial x}}{\frac{\partial{(y²+y-2-x)}}{\partial y}}= \frac{1}{2y+1}$ con la y del punto scelto; esse risultano dunque essere

$t_1: y=-\frac{x}{3}-2$ e $t_2: y=\frac{x}{3}+1$

Per calcolare l'area richiesta è dunque necessario trovare innanzitutto il punto di intersezione tra le due tangeti tramite un opportuno sistema, esso risulta in $T(-\frac{9}{2}, -\frac{1}{2})$, e procedere per sottrazione di integrali definiti.

Nota: la parabola deve essere riscritta in funzione di x, si ottiene dunque: $f_1(x)=\frac{-1+\sqrt{9+4x}}{2}$ e $f_2(x)=-\frac{1+\sqrt{9+4x}}{2}$

Si ha dunque

$A=|\int_{-\frac{9}{2}}^{0}(-\frac{x}{3}-2)dx|-|\int_{-\frac{9}{2}}^{-3}(\frac{x}{3}+1)dx|-||\int_{-\frac{9}{4}}^{0}(\frac{-1+\sqrt{9+4x}}{2})dx|+|\int_{-\frac{9}{4}}^{0}(-\frac{1+\sqrt{9+4x}}{2})dx||=\frac{45}{8}-\frac{3}{8}-|\frac{9}{8}+\frac{27}{8}|=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.