[Risolto] AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO

Problema:

Determina l'area della regione finita del piano limitata dalla parabola $y=x²-3x+2$ e dalle due rette $y=0$ ed $y=2$.

Soluzione:

Per determinare l'area della regione finita del piano sopraindicata è necessario trova innanzitutto i punti di intersezione tra le rette e la parabola in questione, per fare ciò è necessario impostare due sistemi:

{y=x²-3x+2, y=0} $\rightarrow (x_1, y_1)=(1,0)$ e $(x_2, y_2)=(2,0)$

{y=x²-3x+2, y=2} $\rightarrow (x'_1,y'_1)=(0,2)$ e $(x'_2,y'_2)=(3,2)$.

Dopo aver ricavato i punti di intersezione, in questo specifico caso, per trovare l'area richiesta è necessario calcolare prima l'area del segmento parabolico definito tra $x'_1$ ed $x'_2$ e da esso sottrarre l'area del segmento parabolico definita tra $x_1$ ed $x_2$.

Ciò può esser fatto banalmente tramite la formula per l'area del segmento parabolico o tramite integrale definito.

Con l'integrale definito si ha dunque:

$A=||\int_{0}^{3}(2)dx|-2|\int_{0}^{1}(x²-3x+2)dx||=|6-\frac{5}{3}|=\frac{13}{3}$

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

 (L'immagine corretta è la prima, da telefono non mi fa eliminare la seconda...)

Cominciamo dal grafico

https://www.desmos.com/calculator/qox3u7nv6b

xV = -B/(2A) = 3/2

yV = y(xV) = 9/4 - 9/2 + 2 = -1/4

L'area richiesta é la differenza delle aree di due segmenti parabolici retti

ognuna delle quali può essere calcolata utilizzando il Teorema di Archimede

Sp = 2/3 b h

Area maggiore

x^2 - 3x + 2 = 2

x^2 - 3x = 0

x1 = 0, x2 = 3

b = |x2 - x1| = 3

h = |yV - 2| = |-1/4 - 2| = 9/4

SE = 2/3 * 3 * 9/4 = 9/2

Area minore

x^2 - 3x + 2 = 0

x1 = 1 e x2 = 2

b = |x2 - x1| = (2-1) = 1

h = |yV - 0| = |-1/4| = 1/4

SI = 2/3 * 1 * 1/4 = 2/12 = 1/6

Infine S = SE - SI = 9/2 - 1/6 = (27 - 1)/6 = 13/3