Area con gli integrali

Descrizione dell'immagine:
L'immagine mostra un grafico della funzione y = 2x - 4√x nel piano cartesiano. La regione delimitata dalla curva e dall'asse x è evidenziata in verde. Si chiede di calcolare l'area di questa regione.
Risoluzione del problema:
Per calcolare l'area della regione, dobbiamo seguire questi passaggi:
* Trovare le intersezioni con l'asse x:
Impostiamo y = 0 e risolviamo per x:
2x - 4√x = 0
2√x(√x - 2) = 0

Questo ci dà due soluzioni: x = 0 e x = 4. Questi sono i limiti di integrazione.
* Impostare l'integrale definito:
L'area della regione è data dall'integraleDefinito della funzione tra i limiti trovati:
Area = ∫₀⁴ (2x - 4√x) dx

* Risolvere l'integrale:
Calcoliamo l'integrale:
Area = [x² - (8/3)x^(3/2)]₀⁴

* Valutare l'integrale nei limiti:
Sostituiamo i limiti di integrazione:
Area = (4² - (8/3)4^(3/2)) - (0² - (8/3)0^(3/2))
Area = (16 - (8/3)*8) - 0
Area = 16 - 64/3
Area = (48 - 64)/3
Area = -16/3

* Considerare il valore assoluto:
Poiché l'area è un valore positivo, prendiamo il valore assoluto del risultato:
Area = |-16/3| = 16/3