Trova l'area della regione dei punti del piano che rappresenta le soluzioni della disequazione:
x⁶-x²+y²≤0
Soluzione: π/2
Trova l'area della regione dei punti del piano che rappresenta le soluzioni della disequazione:
x⁶-x²+y²≤0
Soluzione: π/2
2
punti
Livello 0
La disequazione
* x^6 - x^2 + y^2 <= 0
rappresenta la regione interna di una lemniscata di grado sei (quella di Gerono ha grado quattro) quindi la sua area S è, per simmetria, il quadruplo di quella compresa nel primo quadrante.
Per y = 0 si ha
* x^6 - x^2 = 0 ≡ x ∈ {- 1, 0, 1}
Da
* x^6 - x^2 + y^2 = 0 ≡ y^2 = x^2 - x^6
si ha, nel primo quadrante,
* f(x) = √(x^2 - x^6)
* F(x) = ∫ f(x)*dx =
= (√(x^2 - x^6))*(arcsin(x^2) + (x^2)*√(1 - x^4))/(4*x*√(1 - x^4)) + c
Pertanto
* S/4 = ∫ [x = 0, 1] f(x)*dx = F(1) - F(0) =
= lim_(x → 1) F(x) - lim_(x → 0) F(x) =
= π/8 - 0 = π/8 ≡
≡ S = π/2
57171
punti
Genius I