Se il punto A = (0,9) deve stare sulla parabola allora

9 = 0 + 0 + 16 k - 7

16k = 9 + 7

k = 16/16 = 1

e sostituendo nell'equazione del fascio

y = x^2 - 6x + 9

I punti P richiesti saranno quindi del tipo (k; k^2 - 6k + 9) con 0 < k < 4.

Imponiamo la condizione sull'area

S[ABP] = 6

1/2 | det [ 0 9 1; 4 1 1; k yk 1 ] | = 6

e sviluppando con la regola di Laplace si trova

| - 9 (4 - k) + 1*(4 yk - k) | = 12

| - 36 + 9k + 4k^2 - 24k + 36 - k | = 12

| 4k^2 - 16 k | = 12

| k^2 - 4 k | = 3

k^2 - 4k = ± 3

e questa si separa in

k^2 - 4k + 3 = 0

(k - 1)(k - 3) = 0

da cui k1 = 1 e k2 = 3

entrambi accettabili perché si trovano tra 0 e 4

P1 = (1, 1-6+9) = (1,4)

P2 = (3, 0)

e in

k^2 - 4k - 3 = 0

k = 2 ± rad(4+3) = 2 ± rad(7)

e ntrambe inaccettabili essendo

2 - rad(7) < 0 e 2 + rad(7) > 4