Approssimazione delle radici

Non t'offendi se controllo, vero?
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* f(x) = y = x^5 - 5*x^3 + 2 = (x^2 - 5)*x^3 + 2
* f'(x) = 5*(x^2 - 3)*x^2
* f''(x) = 10*(2*x^2 - 3)*x
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* f(0) = 2 → Ok!
* f'(± √3) = 5*((± √3)^2 - 3)*(± √3)^2 = 0, con f''(± √3) = ± 30*√3 != 0 → Ok!
* f'(2) = 5*(2^2 - 3)*2^2 = 20 → Ok!
Bene, controllo positivo.
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B) Contare e separare gli zeri del grafico ("la curva di equazione ...") di
* f(x) = y = x^5 - 5*x^3 + 2 = (x^2 - 5)*x^3 + 2
cioè gli zeri reali dell'equazione f(x) = 0; essendo reali i coefficienti (1, 0, - 5, 0, 0, 2) e dispari il grado (5) ce ne dev'essere almeno uno, ma possono anche essere tre o cinque (non due né quattro).
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Non avendo alcuna consegna sul metodo (come al successivo punto C) uso WolframAlpha come strumento di calcolo sia prima grafico per orientarmi che poi numerico a diversi fini.
Dai grafici
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy-2%3D%28x%5E2-5%29*x%5E3%5Dx%3D-44to44%2Cy%3D-44to44
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy-2%3D%28x%5E2-5%29*x%5E3%5Dx%3D-4to4
si rilevano tre zeri reali con modulo minore di tre uno negativo (~= - 2) e due positivi (uno ~= 2, l'altro fra zero e uno.).
Perciò stabilisco che 1/2 è un passo adeguato per le valutazioni di separazione nell'intervallo [- 3, 3] e uso WolframAlpha per calcolare la relativa tavola delle coppie {x, f(x)}
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%7Bk%2F2%2C%28%28k%5E2-20%29*k%5E3--64%29%2F32%7D%2C%7Bk%2C-6%2C6%7D%5D
nella quale
* {{-3, -106}, {-5/2, -561/32}, {-2, 10}, {-3/2, 361/32}, {-1, 6}, {-1/2, 83/32}, {0, 2}, {1/2, 45/32}, {1, -2}, {3/2, -233/32}, {2, -6}, {5/2, 689/32}, {3, 110}}
si identificano gl'intervalli di separazione
* - 5/2 < X1 < - 2
* 1/2 < X2 < 1
* 2 < X3 < 5/2
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E, prima di passare al punto C, c'è un ultimo uso numerico di WolframAlpha: verificare la presenza di una coppia di zeri complessi coniugati.
Servono le approssimazioni degli zeri reali
* X1 ~= - 2.2737917323804740807
* X2 ~= + 0.76831745827454869019
* X3 ~= + 2.1932708847049910929
e il polinomio p(x) che resta da scomporre dopo averli estratti da f(x)
* p(x) = (x^5 - 5*x^3 + 2)/((x - X1)*(x - X2)*(x - X3)) ~=
~= (x^5 - 5*x^3 + 2)/(x^3 - 0.6877966105990657024*x^2 - 5.048906777537155921*x + 3.831630822561884772) ~=
~= x^2 + 0.6877966105990657024*x + 0.521970955088718740 >= p(~ - 0.34) ~= 0.4 > 0
e ciò mi assicura che gli zeri reali sono solo tre.
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C) Approssimare per bisezione, sull'intervallo 2 < X3 < 5/2, la radice maggiore (X3 ~= 2.19327) con una cifra decimale esatta.
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C0a) f(2) = - 6 < 0
C0b) f(5/2) = 689/32 = 21.53125 > 0
* (2 + 5/2)/2 = 9/4 = 2.25
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C1) f(2.25) ~= 2.71191 > 0
* (2 + 2.25)/2 = 2.125
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C2) f(2.125) ~= - 2.64792 < 0
* (2.125 + 2.25)/2 = 2.1875
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Avendo stabilizzato la prima cifra decimale la richiesta approssimazione è
* X3 ~= 2.1