Ciao a tutti, non riesco a capire la dimostrazione di questo corollario (5.3.7), in allegato:
Corollario 5.3.7. Sia $\Phi: V^n \rightarrow W$. Supponiamo che $\Phi$ sia multilineare e che sia alternante nelle entrate $j$ e $j+1$ per ogni $1 \leqslant j<n$ (in altre parole per entrate adiacenti). Allora $\Phi$ è alternante.
Dimostrazione. Per induzione su $n$. Per $n=1$ il Lemma non dice nulla, e per $n=2$ la tesi è uguale all'ipotesi. Dimostriamo il passo induttivo. Quindi supponiamo che la tesi valga per un $n \geqslant 2$ e dimostriamo che vale con $n$ sostituito da $n+1$. Dato $u \in V$ le applicazioni
sono multilineari. Inoltre $\Psi(u)$ e $\Pi(u)$ sono alternanti per l'ipotesi induttiva.
Quindi $\Phi\left(v_1, \ldots, v_{n+1}\right)=0$ se $v_i=v_j$ dove $i<j$ e $(i, j) \neq(1, n+1)$, e rimane da dimostrare che $\Phi\left(v_1, \ldots, v_{n+1}\right)=0$ se $v_1=v_{n+1}$. Applicando la Proposizione 5.3.5 all'applicazione multilineare alternante $\Psi\left(v_1\right)$ vediamo che
$$
\Phi\left(v_1, \ldots, v_{n+1}\right)=-\Phi\left(v_1, \ldots, v_{n+1}, v_n\right) .
$$
D'altra parte $\Pi\left(v_n\right)$ è alternante e quindi il membro di destra di (5.3.3) è nullo perchè $v_1=v_{n+1}$.
In particolare non capisco perché mette " (i,j) diverso da (1, n+1) " e non ad esempio anche (2, n+1) nel caso prendiamo n=3.
Infine metto anche la proposizione menzionata in tale Corollario:
Proposizione 5.3.5. Sia $\Phi: V^n \rightarrow W$. Supponiamo che $\Phi$ sia multilineare e alternante.
1. Sia $1 \leqslant j \leqslant n$ : allora
$$
\Phi\left(v_1, \ldots, v_{j-1}, v_j+\sum_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ i \neq j}}^n \mu_i v_i, v_{j+1}, \ldots, v_n\right)=\Phi\left(v_1, \ldots, v_{j-1}, v_j, v_{j+1}, \ldots, v_n\right) .
$$
2. Siano $1 \leqslant j<h \leqslant n$ : allora
$$
\begin{array}{l}
\Phi\left(v_1, \ldots, v_{j-1}, v_h, v_{j+1}, \ldots, v_{h-1}, v_j, v_{h+1}, \ldots, v_n\right)= \\
=-\Phi\left(v_1, \ldots, v_{j-1}, v_j, v_{j+1}, \ldots, v_{h-1}, v_h, v_{h+1}, \ldots, v_n\right)
\end{array}
$$
cioè scambiando due entrate il valore di $\Phi$ cambia segno.
Grazie a tutti!
