applicazioni lineari e diagonalizzabilità

a.   

Calcoliamo l'immagine di e₁.

f(e₁) = f(1,0,0) = f(1,1,0) - f(0,1,0) = (1,2,3) - (0,4,6) = (1, -2, -3).

La matrice A associata all'applicazione f rispetto alla base canonica è

$ A = \begin{pmatrix} 1&0& -1\\-2&4&-2\\-3&6&-3 \end{pmatrix} $

Le colonne son le immagini della base canonica tramite f.   

b.   

• Polinomio caratteristico. P(λ)  = λ(-λ²+2λ+2)
• Autovalori $ λ_1 = 1 + \sqrt{3} , \qquad λ_2 = 1 - \sqrt{3} , \qquad λ_3 = 0 $
• 3 autovalori reali distinti significa che è diagonalizzabile in ℝ.

c.  

autovalore nullo significa che il ker A non è banale, dim ker A ≥ 1

Possiamo risolvere il sistema A*v = 0

$ \begin{pmatrix} 1&0& -1\\-2&4&-2\\-3&6&-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $ 

che genera il sistema

$ \left\{\begin{aligned} x-z &=0 \\ -2x+4y-2z &= 0 \\ -3x +6y-3z &= 0 \end{aligned} \right.$

La cui soluzione è $ x = t  ∧  y = t  ∧ z = t    ovvero  t(1,1,1) 

 quindi il ker è generato da (1, 1, 1); Ker A = span{(1,1,1)};  questo significa che dim ker(A) = 1.