Applicazioni geometriche, integrali

y = e^(x/2)

simmetrica rispetto alla retta y = 1:

y = 2·1 - e^(x/2)----> y = 2 - e^(x/2)

{y = 2 - e^(x/2)

{y = 0

quindi: x = 2·LN(2) ∧ y = 0---->  A [2·LN(2), 0]

retta per A // y: x = 2·LN(2)

e^(x/2) - (2 - e^(x/2)) = 2·e^(x/2) - 2

∫(2·e^(x/2) - 2) dx = 4·e^(x/2) - 2·x

valutato in x = 2·LN(2):

4·e^(2·LN(2)/2) - 2·(2·LN(2)) = 8 - 4·LN(2)

valutato in x = 0:

4·e^(0/2) - 2·0 = 4

A = 8 - 4·LN(2) - 4 = 4 - 4·LN(2)

simmetria rispetto alla retta y = c;

f(x) = e^(x/2);

x' = x;

g(x) = 2 * c - f(x);

retta y = 1;

g(x) = 2 * 1 - e^(x/2);

g(x) = 2 - [e^(x/2)];

Per g(x) = 0; punto A, intersezione con l'asse x;

2 - e^(x/2) = 0;

e^(x/2) = 2;

x/2 = ln(2);  x = 2 ln(2);    A (2 ln2; 0)

f(x) - g(x) = e^(x/2) - [2 - e^(x/2)] = e^(x/2) + e^(x/2) - 2 ;

f(x) - g(x);   y = 2 e^(x/2) - 2;

integriamo da x= 0 a  x = 2 ln(2);

∫[2 e^(x/2) - 2] dx ;  calcolato da x= 0 a  x = 2 ln(2);

∫2 e^(x/2) dx  - ∫2 dx = 2 * 2 e^(x/2) - 2x = 4 e^(x/2) - 2x;

= [4 * e^(2 ln2 /2) - 2 * (2 ln2)] - [4 * e^0 - 0] =

= 4 * e^(ln2) - 4 ln(2) + 4 * 1 =

= 4 * 2 - 4 ln(2) + 4 = 8 - 4 ln(2) + 4 = 4 - 4 ln(2);

area della regione fre le due funzioni e la retta parallela all'asse y passante per A:

x = 2 ln(2).

Area = 4 * [1 - ln(2)] = 4 * (1 - 0,693) = 1,227... (circa).

Ciao @alby