APPLICAZIONI DI INTEGRALI.

$ F(x) = \int xe^{2x} \, dx = $

per sostituzione. $ t = 2x \; ⇒ \; \frac{1}{2} t = x \; ⇒ \; dx = \frac{1}{2} dt $

$ F(x) = \int xe^{2x} \, dx = \frac{1}{4} \int t e^t dt = ⊳ $       per parti

• fattore finito $f(t) = t \; ⇒\; f'(t) = 1$
• fattore differ. $g'(t) = e^{t} \; ⇒ \; g(t) = e^{t} $

$ ⊳ = \frac{1}{4} e^t(t-1) + c = \frac{1}{4} e^{2x}(2x-1) + c $

Determiniamo il punto di minimo. La funzione integranda è la derivata prima di F(x). 

-) derivata prima. F'(x) = xe^2x 

-) punti stazionari. F'(x) = 0   ⇒   x = 0 

-) verifica che trattasi di un minimo. Il segno della derivata è eguale al segno della funzione x, quindi

• • • F(x) è decrescente in (-∞, 0)
    • F(x) è crescente in (0, +∞)  
      • • F(x) è quindi un minimo.

dai dati

$ F(0) = 1 $

$ e^0 (0-\frac{1}{4}) + c = 1 $

$ c = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

La funzione cercata è quindi 

$F(x) = \frac{1}{4} e^{2x}(2x-1) + \frac{5}{4} =  e^{2x}(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}) + \frac{5}{4}$