APPLICAZIONI DI INTEGRALI.

Dobbiamo eliminare il logaritmo, quindi va risolto per parti.

• fattore finito $f(x) = ln x \; ⇒\; f'(x) = \frac {1}{x}$
• fattore differ. $g'(x) = x \; ⇒ \; g(x) = \frac{x^2}{2} $

$ \int x\cdot ln x \, dx = \frac{1}{2}x^2 ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 ln x - \frac{1}{4} x^2 + c $

Per rispondere alla seconda domanda occorre studiare la funzione F(x).

-) Dominio = (0, +∞)    (il dominio è condizionato dalla presenza di un logaritmo)

-) Comportamento alla frontiera.

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} F(x) = c $

$ \displaystyle\lim_{x \to \infty} F(x) = +\infty $

-) derivata prima. $F'(x) = x\cdot ln x$      (nota: è la funzione integranda)

-) punti stazionari. F'(x) = 0 ⇒ x ln x = 0  ⇒ x = 1

-) Per x = 1 possiamo solo avere un minimo che vale $ F(1) = 0 - \frac{1}{4}1^2 + c $

-) F(x) non intersecherà l'asse delle x se il suo minimo risulta positivo, cioè  

$ - \frac{1}{4} + c > 0 \; ⇒ \; c > \frac{1}{4} $