Dati i punti A(2; 0) e B(4; 2), determina il luogo geometrico dei punti P tali che tan APB = ‡ 1.
[l'unione delle due circonferenze di equazioni x^2+ y^2 - 8x+12 = 0 e
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, esclusi i punti A e B]
Dati i punti A(2; 0) e B(4; 2), determina il luogo geometrico dei punti P tali che tan APB = ‡ 1.
[l'unione delle due circonferenze di equazioni x^2+ y^2 - 8x+12 = 0 e
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, esclusi i punti A e B]
225
punti
Livello 1
Per punti distinti da A e B o da quelli del segmento che li unisce , è possibile parlare di un angolo α oppure β tale per cui TAN(α) = 1 (analogamente TAN(β) = 1) quindi si deve trattare di due circonferenze congruenti passanti per A e B i cui angoli alla circonferenza valgono:α = pi/4 = 45° e quindi i corrispondenti angoli al centro valgono pi/2=90°.
Abbiamo quindi una corda comune che misura:
ΑΒ = √((2 - 4)^2 + (0 - 2)^2) = 2·√2
per il teorema della corda si ha pure: ΑΒ = 2·r·SIN(pi/4) = √2·r per cui il raggio r delle due circonferenze vale:
2·√2 = √2·r----> r = 2
che corrisponde al lato del quadrato della figura allegata.
Le due circonferenze hanno quindi equazione:
(x-2)^2+(y-2)^2=2^2
(x-4)^2+y^2=2^2
95519
punti
Genius II