Applicazioni al calcolo di aree e volumi con gli integrali.

Problema:

Considera la regione illimitata di piano, contenuta nel quarto quadrante, limitata dall'asse y, dall'asse x e dal grafico della funzione $y=\ln x$. Determina:

(i) La sua area;

(ii) Il volume del solido che si ottiene da una sua rotazione completa intorno all'asse x;

(iii) Il volume del solido che si ottiene da una sua rotazione completa intorno all'asse y.

Soluzione:

Prima di svolgere il quesito è opportuno individuare l'intervallo di integrazione; dato che la funzione data si annulla in $x=1$ ed il quarto quadrante è definito per $y≤0, x≥0$, si ha che l'intervallo da considerare lungo l'ascisse è $[0,1]$.

(i) L'area è data dunque da $A=| \int_0^1 \ln x dx |=|-1|=1$

(ii) Il volume del solido di rotazione rispetto l'asse x è dato da $V=|π\int_0^1 \ln²x dx|=π[x\ln²x -2x\ln x +2x]^1_0=2π$ Nota: sono stati utilizzati gli ordini di infinito, fai finta che il logaritmo non esiste.

(iii) Per la rotazione intorno l'asse y è possibile risolvere l'integrale di $x=e^y$ in dy su (-∞, 0) come nel quesito (ii):

$V=|π\int_{-∞}^0 e^{2y}dy|=π|\frac{e^{2y}}{2}|^0_{-∞}=\frac{π}{2}$