Applicazioni al calcolo di aree e volumi con gli integrali.

y = (a/x + b/x^2)^2 con a > 0

passa per [2, 0]:

0 = (a/2 + b/2^2)^2---> 2·a + b = 0---> b = - 2·a

y = (a/x + (- 2·a)/x^2)^2

y = (a·(x - 2)/x^2)^2

anche: y = a^2/x^2 - 4·a^2/x^3 + 4·a^2/x^4

x ≥ 2

∫(a^2/x^2 - 4·a^2/x^3 + 4·a^2/x^4) dx =

=- a^2/x + 2·a^2/x^2 - 4·a^2/(3·x^3)

per x=2:

- a^2/2 + 2·a^2/2^2 - 4·a^2/(3·2^3)=

=- a^2/6

LIM(- a^2/x + 2·a^2/x^2 - 4·a^2/(3·x^3))= 0

x---> +∞

Α = 0 - (- a^2/6) = a^2/6

a^2/6 = 3/2----> a = -3 ∨ a = 3  (la negativa si scarta)

b = - 2·3----> b = -6

y = (3/x - 6/x^2)^2----> y = 9·(x - 2)^2/x^4

x ≠ 0----> x = 0 asintoto verticale

9·(x - 2)^2/x^4 > 0  x ≠ 2

sempre tranne che x=2  per cui y = 0

y'=  18·(2 - x)·(x - 4)/x^5

18·(2 - x)·(x - 4)/x^5 > 0 per 2 < x < 4 ∨ x < 0

(in tali tratti la funzione cresce)

18·(2 - x)·(x - 4)/x^5 < 0  per 0 < x < 2 ∨ x > 4

(in tali tratti la funzione decresce)

18·(2 - x)·(x - 4)/x^5 = 0  per  x = 4 ∨ x = 2

minimo relativo in x=2 (anche assoluto)

max relativo in x=4

LIM(9·(x - 2)^2/x^4) = 0

x---> -∞

LIM(9·(x - 2)^2/x^4) = +∞

x---> 0-

LIM(9·(x - 2)^2/x^4) = +∞

x---> 0+

(Asintoto verticale  x = 0)

LIM(9·(x - 2)^2/x^4) = 0

x---> +∞

(y=0  asintoto orizzontale)