[Risolto] Quesiti sulle scomposizioni di polinomi

Una prima scomposizione si ha applicando la proprietà "potenza di potenza"
* a^(4*n + 4) = a^(4*(n + 1)) = (a^4)^(n + 1) = (a^4)*(a^4)^n
da cui
* (a^4)*b^8 - 16*a^(4*n + 4) =
= (a^4)*b^8 - 16*(a^4)*(a^4)^n =
= (a^4)*(b^8 - (2^4)*(a^n)^4) =
= (a^4)*(b^8 - (2*a^n)^4)
poi, su questo risultato, si applica ripetutamente il prodotto notevole "differenza di quadrati"
* b^8 = ((b^2)^2)^2
* (2*a^n)^4 = ((2*a^n)^2)^2
da cui
* b^8 - (2*a^n)^4 =
= ((b^2)^2)^2 - ((2*a^n)^2)^2 =
= ((b^2)^2 + (2*a^n)^2)*((b^2)^2 - (2*a^n)^2) =
= (4*a^(2*n) + b^4)*(b^2 + 2*a^n)*(b^2 - 2*a^n)
e infine
* (a^4)*b^8 - 16*a^(4*n + 4) =
= (a^4)*(b^8 - (2*a^n)^4) =
= (a^4)*(4*a^(2*n) + b^4)*(b^2 + 2*a^n)*(b^2 - 2*a^n)
http://www.wolframalpha.com/input?i=factor%28a%5E4%29*b%5E8-16*a%5E%284*n%2B4%29
-----------------------------
Quell'altra espressione è un normalissimo trinomio quadratico in u = 2^n
* 2^(2*n + 1) - 2^(n + 3) + 8 =
= 2*2^(2*n) - 8*2^n + 8 =
= 2*(2^(2*n) - 4*2^n + 4) =
= 2*(u^2 - 4*u + 4) =
= 2*(u - 2)^2 =
= 2*(2^n - 2)^2

a^4·b^8 - 16·a^(4·n + 4)=

=a^4·(2·a^n + b^2)·(b^2 - 2·a^n)·(4·a^(2·n) + b^4)

-------------------------------------------------

2^(2·n + 1) - 2^(n + 3) + 8=

=2·(2^n - 2)^2

La prima:

a^4·b^8 - 16·a^(4·n + 4) = a^4·(b^8 - 16·a^(4·n)) =

=a^4·(b^4 + 4·a^(2·n))·(b^4 - 4·a^(2·n))=

=a^4·(b^4 + 4·a^(2·n))·(b^2 + 2·a^n)·(b^2 - 2·a^n)

La seconda:

2^(2·n + 1) - 2^(n + 3) + 8 =

=2·(2^(2·n) - 2^(n + 2) + 4) =

=2·(2^n - 2)^2