Ciao. Vediamo se riesco a soddisfare quanto mi hai richiesto nel tuo commento precedente.
Cos'è una frontiera? Con parole semplici è un insieme di linee del piano cartesiano rappresentate da equazioni (quasi sempre implicite) che delimitano la regione S assegnata dal testo qui l'insieme è dato da un segmento rettilineo da x=-2 ad x= 2 sulla retta y=4 e da una linea curva parabolica rappresentata dall'equazione y=x^2 anch'essa limitata dai punti che vanno da x=-2 ad x=2 comuni coi punti del segmento precedente.
Questo per quanto concerne la prima domanda posta da te (implicita).
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Adesso devi trovare due valori per z = x^2 + y^2 - 10·y che devi considerare appartenenti alla frontiera: uno max ed uno minimo che risultano essere assoluti.
Quindi cominci ad esaminare quelli che si trovano sul segmento orizzontale delimitato dai punti [-2,4] e [2,4].
Su tale segmento la funzione assume valori che derivano dal fatto che tu sai quanto vale la coordinata y=4. Tali valori di z li trovi per sostituzione. Come fatto sopra ottieni per z una funzione in una sola variabile x: z = x^2 - 24 con -2 ≤ x ≤ 2.
Se ti limiti a considerare solo i punti estremi, come mi hai riferito, ti dimentichi il punto x=0 per cui la funzione potrebbe avere in esso un minimo assoluto (nell'insieme chiuso e limitato) quindi per x=0----> z = -24 mentre negli altri due punti avresti : z=-20.
Quindi sondando i valori su questa frontiera hai come candidati:
[-2,4]: z= -20; [2,4]: z=-20; [0,4]: z = -24
Per x=0 si annulla la z' che come valori che assume ha andamento parabolico
(z = x^2 - 24 con -2 ≤ x ≤ 2)
La derivata z'=0 indica il punto di stazionarietà (critico), la derivata z'' >0 indica minimo.
Tanto comincia a ragionare su quanto ti ho appena detto.. Poi vediamo di soddisfare gli altri dubbi... Un po' per volta...
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