Buongiorno a tutti, non saprei da dove iniziare. Non ho mai affrontato questo tipo di esercizio. Conosco solo il metodo di risoluzione con Hessiana senza vincolo. Qualcuno disponibile a spiegarmi facilmente un metodo di risoluzione veloce e semplice (senza lettere strane e mille passaggi), in matematica sono poco ferrata, ho esame tra pochi giorni. Grazie mille a chi vorrà darmi una mano.
Funzione a due variabili con vincolo, ci sono vari punti da svolgere, in particolare i punti A, B, C, D, in allegato.
è continua assieme alle sue derivate ed è definita in un insieme chiuso (contiene tutta la frontiera definita dalle due equazioni associate: parabola e retta) e limitato:
{y ≥ x^2
{y ≤ 4
Quindi per il teorema di Weierstrass ammette ivi massimo e minimo assoluto.
Rispondiamo ora ai 4 quesiti.
a) Nessuna delle risposte è corretta.
(con riferimento al dominio delle soluzioni ammissibili disegnato sopra)
Per quanto riguarda la funzione z=f(x,y)
b) Non ammette estremanti all'interno del dominio:
{2·x = 0
{2·y - 10 = 0
soluzione: [x = 0 ∧ y = 5] esterno al dominio.
(che invece risulta essere minimo relativo ed assoluto per la funzione z libera da vincoli)
Quindi devi sondare i valori della funzione lungo la frontiera stessa.
Incominciamo da y=4 risolvendo il sistema:
{y = x^2
{y = 4
ed ottenendo: [x = 2 ∧ y = 4, x = -2 ∧ y = 4] quindi
[-2, 4] e [2, 4]
Quindi ti riporti ad una funzione di una sola variabile reale:
z = x^2 + 4^2 - 10·4----> z = x^2 - 24 con -2 ≤ x ≤ 2
Quindi:
c) Candidati a punti di massimo e di minimo assoluto sono:
[-2,4] ; [0,4] ;[2,4]
z'x=2x--->x=0 può essere un minimo assoluto il punto di coordinate [0,4] in quanto
z''=2 >0 in x=0
I punti esterni possono essere di massimo assoluto (vincolato)
Per l'ultimo quesito devi sondare i valori della funzione z lungo la frontiera parabolica:
