[Risolto] Analisi matematica 1

A intuito. Quando x tende  a infinito i due addendi al numeratore tendono a 0 e a 4x ln 2.

Il denominatore si approssima a 2x e il rapporto é 

2 ln 2.

Buon ferragosto. 

E poi, se non ti basta l'intuito di @EidosM, puoi usare la proprietà distributiva e darti da fare.
* lim_(x → ∞) (3*ln(1 + 1/x) + 4*ln(1 + 2^x))/(√(1 + x^2) + x) =
= lim_(x → ∞) 3*ln(1 + 1/x)/(√(1 + x^2) + x) + lim_(x → ∞) 4*ln(1 + 2^x)/(√(1 + x^2) + x) =
= 0 + 4* lim_(x → ∞) ln(1 + 2^x)/(√(1 + x^2) + x) =
= 4* lim_(x → ∞) ln(1 + 2^x)/(√(1 + x^2) + x)
Alla forma indeterminata ∞/∞ si può applicare il teorema di d l'Hôpital direttamente
* lim_(x → ∞) ln(1 + 2^x)/(√(1 + x^2) + x) =
= lim_(x → ∞) D[ln(1 + 2^x)]/D[(√(1 + x^2) + x)] =
= lim_(x → ∞) (2^x/(1 + 2^x))*ln(2)/(x/√(1 + x^2) + 1) =
= ln(2)* lim_(x → ∞) (2^x/(1 + 2^x))/(x/√(1 + x^2) + 1) =
= ln(2)* 1/2
da cui
* lim_(x → ∞) (3*ln(1 + 1/x) + 4*ln(1 + 2^x))/(√(1 + x^2) + x) =
= 4* lim_(x → ∞) ln(1 + 2^x)/(√(1 + x^2) + x) =
= 4*ln(2)* 1/2 =
= 2*ln(2)