Buongiorno! Potreste correggermi questo esercizio? Vi ringrazio 🙂
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Livello 1
Mi sembra che manchi lo Jacobiano $J=\rho$ nella sostituzione in coordinate polari. Quindi dovresti trovarti come:
$\int\int\int ln(\rho^2) \rho dV = $
$\int_1^2 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_{6-3\rho}^{4-\rho^2} ln(\rho^2) \rho dz = $
$ 2\pi \int_1^2 ln(\rho^2) \rho [4-\rho^2-6+3\rho] d\rho =$
$2\pi \int_1^2 ln(\rho^2)(-\rho^3+3\rho^2-2\rho) d\rho =$
Procedendo per parti ottieni
$2\pi [ρ^2 - (2 ρ^3)/3 + ρ^4/8 - ρ^2 ln(ρ^2) + ρ^3 ln(ρ^2) - 1/4 ρ^4 ln(ρ^2)]_1^2 = 2\pi \cdot \frac{5}{24} = \frac{5\pi}{12}$
Noemi
9874
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Livello 5