amichetti!

Se il gruppo é costituito da n persone allora

può essere suddiviso in classi di equivalenza

quelli che hanno 0 amici

quelli che hanno 1 amico

....

quelli che hanno n-1 amici

e la somma delle numerosità é n

NB --- n deve essere almeno 2

Ora : se ci fosse qualcuno che ha 0 amici ( diciamo P questa persona )

non ci può essere qualcun altro che ne ha n-1 perché fra questi restanti

ci sarebbe pure P.

Viceversa, se qualcuno (Q) fosse amico di tutti, ciò comporterebbe

l'impossibilità per chiunque altro di non avere amici.

Dunque : almeno il primo sottoinsieme, o l'ultimo, é vuoto

e da ciò segue che si devono incasellare n elementi in non più

di n-1 sottoinsiemi. Se ce n'é qualcuno che ne ha 2, o più,

abbiamo terminato.

Altrimenti metto 1 elemento in ogni sottoinsieme (fino a n-1 volte)

e mi resterà almeno l'ultimo che dovrò mettere dove ce ne sta già almeno uno.

Ecco quindi provato che almeno un sottogruppo contiene almeno 2

elementi e abbiamo dimostrato la tesi.

Nota

E' possibile proporre una variante di questo ragionamento.

Se non ce ne sono almeno due in qualche sottogruppo

allora ce ne sarà uno in ognuno.

Quindi uno ha 0 amici, un altro ne ha 1, un altro ancora 2 e

così via fino a n-1. Ma questo assetto si scontra con l'impossibilità,

già discussa, di avere contemporaneamente un elemento nel primo

e nell'ultimo sottogruppo e ciò prova la tesi per assurdo.