Altro esercizio logaritmo

Per risolvere l'equazione:

3x−2⋅21−x6=7x\frac{3^{x-2} \cdot 2^{1-x}}{6} = 7^x63x−2⋅21−x​=7x

seguiamo i seguenti passaggi.

Passaggio 1: Riscrivere la base comune

Cominciamo con semplificare l'espressione nel lato sinistro.

3x−2⋅21−x6=3x−2⋅21−x2⋅3\frac{3^{x-2} \cdot 2^{1-x}}{6} = \frac{3^{x-2} \cdot 2^{1-x}}{2 \cdot 3}63x−2⋅21−x​=2⋅33x−2⋅21−x​

Distribuiamo il 6 come il prodotto di 2 e 3. Ora possiamo semplificare il fattore 3x−23^{x-2}3x−2 con il denominatore 3:

=3x−23⋅21−x2= \frac{3^{x-2}}{3} \cdot \frac{2^{1-x}}{2}=33x−2​⋅221−x​ =3x−3⋅2−x= 3^{x-3} \cdot 2^{-x}=3x−3⋅2−x

Ora l'equazione diventa:

3x−3⋅2−x=7x3^{x-3} \cdot 2^{-x} = 7^x3x−3⋅2−x=7x

Passaggio 2: Logaritmo per risolvere

Per risolvere questa equazione, possiamo applicare il logaritmo naturale (o logaritmo in qualsiasi base) a entrambi i membri. Utilizziamo il logaritmo naturale:

ln⁡(3x−3⋅2−x)=ln⁡(7x)\ln(3^{x-3} \cdot 2^{-x}) = \ln(7^x)ln(3x−3⋅2−x)=ln(7x)

Utilizzando la proprietà dei logaritmi $\ln (a\cdot b)=\ln (a)+\ln (b)$, otteniamo:

ln⁡(3x−3)+ln⁡(2−x)=ln⁡(7x)\ln(3^{x-3}) + \ln(2^{-x}) = \ln(7^x)ln(3x−3)+ln(2−x)=ln(7x)

Ora, utilizziamo la proprietà del logaritmo ln⁡(ab)=b⋅ln⁡(a)\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)ln(ab)=b⋅ln(a):

$$(x-3)\cdot \ln (3)+(-x)\cdot \ln (2)=x\cdot \ln (7)$$

Passaggio 3: Espandere e raccogliere i termini con $x$

Distribuiamo i logaritmi:

$$(x-3)\ln (3)-x\ln (2)=x\ln (7)$$

Ora, raccogliamo i termini che contengono $x$ da un lato:

$$x\ln (3)-3\ln (3)-x\ln (2)=x\ln (7)$$ $$x\ln (3)-x\ln (2)-x\ln (7)=3\ln (3)$$ $$x(\ln (3)-\ln (2)-\ln (7))=3\ln (3)$$

Passaggio 4: Risolvere per $x$

Ora possiamo isolare $x$:

x=3ln⁡(3)ln⁡(3)−ln⁡(2)−ln⁡(7)x = \frac{3 \ln(3)}{\ln(3) - \ln(2) - \ln(7)}x=ln(3)−ln(2)−ln(7)3ln(3)​

Questa è la soluzione dell'equazione in termini di logaritmi.

Passaggio 5: Valore numerico

Se vogliamo il valore numerico di $x$, possiamo sostituire i logaritmi con i loro valori approssimativi:

$$\ln (3)\approx 1.0986,\ln (2)\approx 0.6931,\ln (7)\approx 1.9459$$

Sostituendo questi valori:

x=3⋅1.09861.0986−0.6931−1.9459x = \frac{3 \cdot 1.0986}{1.0986 - 0.6931 - 1.9459}x=1.0986−0.6931−1.94593⋅1.0986​ x=3.29581.0986−2.6390x = \frac{3.2958}{1.0986 - 2.6390}x=1.0986−2.63903.2958​ x=3.2958−1.5404x = \frac{3.2958}{-1.5404}x=−1.54043.2958​ $$x\approx -2.14$$

Pertanto, la soluzione numerica approssimata dell'equazione è:

$$x\approx -2.14$$