Ciao, mi servirebbe il procedimento di queste equazioni/disequazioni esponenziali
Ciao, mi servirebbe il procedimento di queste equazioni/disequazioni esponenziali
Es. 323. Questo è più difficile.
per prima cosa devi spezzare il valore assoluto quindi il problema ti si duplica.
Studiamo quando $16^x-4>=0$ ovvero quando $16^x>=4$. Vediamo quando succede questo:
$16^x$ può essere scritto come $(4^2)^x=4^{2x}$ quindi $4^{2x}>=4$. Da qui derivi che $2x>=1$ e quindi $x>=1/2$.
Ricapitolando, per $x>=1/2$ possiamo togliere il valore assoluto e la disequazione risulta:
$16^x-4>=4+2*4^x$ cioè $4^{2x}-4>=4+2*4^x$
Portando tutto a sinistra viene:
$4^{2x}-2*4^x-8>=0$
Adesso devi chiamare $t=4^x$
$t^2-2*t-8>=0$
$\Delta=36=6^2$ e le radici in t sono $t_1=4$ e $t_2=-2$
le teoriche soluzioni sarebbero pertanto per $t>=t_1$ e per $t<=t_2$ ma adesso dobbiamo controllare in $x$.
$t>=t_1$ significa $4^x>=4$ e quindi $x>=1$ che va bene, in quanto siamo nel campo $x>=1/2$
$t<t_2$ significa $4^x<=-2$ che è impossibile, in quanto $4^x>=0$ sempre, per ogni $x$
Fino a qui abbiamo fatto mezzo esercizio e per ora siamo a $x>=1$
Adesso vediamo cosa succede per $x<1/2$. possiamo sempre togliere il valore assoluto, ma dobbiamo cmabiare di segno a quello che "sta dentro" al valore assoluto:
$-16^x+4>4+2*4^x$ --> $-4^{2x}>2*4^x$
Grazie al cielo questa disequazione non ha soluzione, in quanto $-4^{2x}$ è sempre negativo e non potrà mai essere maggiore di $2*4^x$ che è sempre positivo.
in definitiva la soluzione dell'esercizio è soltanto
$x>=1$
Es 320
Raccogli un $2^x$ a sinistra:
$2^x(1+2^1+2^2)>14$ -->$2^x(1+2+4)>14$-->$2^x(7)>14$-->$2^x>14/7$-->$2^x>2$
Quindi adesso applichi il logaritmo in base 2 sia a destra che a sinistra e ti rimane x>1. Oppure ragioni in questo modo: se $2^x>2^1$ come deve essere l'esponente x a sinistra rispetto all'esponente 1 che si trova a destra? Affinché la disuguaglianza sia rispettata è chiaro che x>1.
@sebastiano scusi ma la soluzione è x>1 non x<1, il ragionamento resta lo stesso ?
@Roberta scusa, ho scritto la disuguaglianza con il < al posto del >. Il ragionamento è identico, ora correggo.
@sebastiano grazie mille, per quanto riguarda gli altri es come funzionano? sempre se non la disturbo
@Roberta sono un po' impegnato stamani. In giornata te li risolvo però. Nessun disturbo:)
Es. 327. Questo sembra difficile, ma non è quanto sembra.
Per prima cosa guardiamo la radice quadrata $\sqrt{4^x+3^{-x}+10}$
Essa contiene tre termini tutti positivi, quindi è sempre strattamente positiva per ogni $x$. Quindi ti puoi "dimenticare" del denominatore e concentrarti soltanto sul numeratore.
$2^{3x}$ scrivilo come $(2^x)^3$
$2^{x+2}$ scrivilo come $(2^x)*2^2=4(2^x)$
$2^{2x+1}$ scrivilo come $((2^x)^2)*2^1=2(2^x)^2$
il numeratore pertanto diventa:
$(2^x)^3-6(2^x)^2+12*2^x-8>=0$
adesso $t=2^x$
$t^3-6t^2+12*t-8>=0$ che si riconosce essere $(t-2)^3>=0.
quindi $t-2>=0$ --> t>=2.
pertanto $2^x>=2$ e in definitiva $x>=1$