Altezza punto di lancio

La situazione è descritta da questo disegno:

Le equazioni del moto in questione sono, con le ipotesi consuete:

$x=v_{0} t$

$y=h_{0}-\frac{1}{2} g t^{2}$

$v_{y}=-g t$

L'istante in cui la palla colpisce il suolo si trova ponendo $y=0$ nella seconda equazione e ignorando la radice negativa:

$t_{f}=\sqrt{\frac{2 h_{0}}{g}}$, mentre la gittata si ottiene sostituendo $t_{f}$ nella prima equazione:

$x_{\max }=v_{0} \sqrt{\frac{2 h_{0}}{g}}$

I rapporto $\frac{h_{0}}{x_{\max }}=\tan \left(30^{\circ}\right)=\sqrt{\frac{1}{3}}$
risulta quindi uguale a $\frac{h_{0}}{v_{0} \sqrt{\frac{2 h_{0}}{g}}}=\sqrt{\frac{g h_{0}}{2 v_{0}^{2}}}$

Da qui si ottiene $h_{0}=\frac{2}{3} \frac{v_{0}^{2}}{g}$.

Una palla da basket viene lanciata orizzontalmente con una velocità iniziale Vo di 4,20 m/s. La linea retta che unisce il punto di lancio della palla e il punto in cui essa atterra forma un angolo di 30,0° con il piano orizzontale. Qual è l’altezza h del punto di lancio?

g/2*t^2/(Vo*t) = tan 30°

4,903*t^2= 4,20*t*0,5774

t si semplifica

4,903*t =2,425

t = 2,425/4,903 = 0,495 sec

h = g/2*t^2 = 4,903*0,495^2 = 1,20 m 

Scusa la traiettoria parabolica, disegnata male! @elys

tan(30°) = y / x;

Prendiamo come verso positivo la verticale verso il basso:  g = 9,8 m/s^2 verso il basso e la velocità verticale vy = 9,8 * t, verso il basso.

vx = 4,20 m/s;

vy = 9,8 * t;

y = 1/2 g t^2;

y = 1/2 * 9,8 * t^2;

t = radice quadrata(2 y /9,8); (tempo di caduta, tempo di volo).

x = vx * t;

x = 4,20 * radicequadrata(2 y /9,8);

y / x = tan30° = 0,577;

y = 0,577 * x;

y = 0,577 * 4,20 * radice((2 y /9,8);

y^2 = [0,577 * 4,20 * radice((2 y /9,8)]^2;

y^2 = 2,423^2 * (2 y / 9,8);

y^2 = 5,873 * y / 9,8;

y^2 - 0,599 y = 0;

y * ( y - 0,599) = 0;

y = 0,599 m = 59,9 cm ;

y = 60 cm circa!

ciao @elys

OBIEZIONI SULLE STUPIDAGGINI
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"Ma h è 0.8 non 1.3 ..." E CERTO CHE SI', VORREI BEN VEDERE!
Se tu basi un ragionamento su un'ipotesi falsa ("l'angolo del vettore velocità nell 'ultimo istante è 30") poi non dovresti avere alcun motivo di meraviglia nell'ottenere risultati a PdS (Pène di Segùgio).
Se è vero, com'è vero, che la trajettoria di un mobile è l'inviluppo delle sue velocità allora ne segue che "il vettore velocità nell'ultimo istante" è, come in qualsiasi altro istante, TANGENTE alla trajettoria e non secante come lo sono le corde ("La linea retta che unisce il punto di lancio della palla e il punto in cui essa atterra" è, appunto, una corda).
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"Qualcuno sa aiutarmi" E CERTO CHE SI', UN FRACCO DI GENTE!
Se già non l'avessi saputo, non avresti pubblicato il problema: questa è una domanda ipòcrita, oltre che stùpida.
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RISOLUZIONE
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A) Geometria
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Nel riferimento Oxy, detti L(0, h) il punto di lancio ed W(w, 0) quello di atterraggio, le parabole Γ con vèrtice in L ("lanciata orizzontalmente") ed apertura "a != 0" sono
* Γ(a) ≡ y = h - a*x^2
la condizione di passaggio per W impone il vìncolo
* 0 = h - a*w^2 ≡ h = a*w^2
da cui
* Γ(a) ≡ y = a*(w^2 - x^2)
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Se "La linea retta ... forma un angolo di 30,0°" vuol dire che il triangolo OWL è metà di un triangolo equilatero, cioè
* h = w/2
da cui
* h = w/2 = a*w^2 ≡ w = 1/(2*a) → h = w/2 = 1/(4*a)
cioè h è la lunghezza focale delle parabole
* Γ(a) ≡ y = a*(1/(4*a^2) - x^2)
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B) Cinematica
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* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2 (accelerazione di gravità SI)
* 4.2 = 21/5
* v(0) = (21/5, 0) m/s = velocità di lancio
* V = |v0| = 21/5 m/s
* θ = 0 = alzo
la gittata (w = 2*h) è il prodotto fra V e il tempo T di caduta
* (0 = h - (g/2)*T^2) & (T > 0) ≡ T = √(2*h/g)
* w = V*T = (21/5)*√(2*h/g) = 2*h ≡
≡ h = 441/(50*g) = 441/(50*196133/20000) = 25200/28019 ~= 0.899 m
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C) Risposta al quesito "Qual è l'altezza del punto di lancio?"
POCO PIU' DI OTTOCENTONOVANTANOVE MILLIMETRI (circa 90 cm).

S'è duplicata a mia insaputa!